Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ và $AD = 2AB = 2a;$ \(\cos AOB

Câu hỏi số 399188:

Vận dụng cao

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ và $AD = 2AB = 2a;$ $\cos AOB = \dfrac{3}{5}$ . Gọi $E,\,\,F$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$ . Biết rằng $CD' \bot CF;\,\,BB' \bot ED$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $CD$ và $AA'$ là $a\sqrt 3$ , tính thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ .

$\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}$

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

$3{a^3}\sqrt 3$

${a^3}\sqrt 3$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399188

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đường trung tuyến và định lí hàm $\cos$ để tính độ dài $OA,\,\,OB$ .

Dựa vào $CD' \bot CF,\,\,\,BB' \bot ED;\,\,\,{d_{\left( {CD,AA'} \right)}} = a\sqrt 3$ để tính chiều cao của khối hộp.

Thể tích của khối hộp có chiều cao $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là $V = Sh$

Giải chi tiết

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ .

Theo công thức đường trung tuyến ta có: $BO$ là trung tuyến trong tam giác $ABC$ nên

$B{O^2} = \dfrac{{B{A^2} + B{C^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4}$ $\Leftrightarrow O{B^2} = \dfrac{{{a^2} + 4{a^2}}}{2} - O{A^2}$ $\Leftrightarrow O{A^2} + O{B^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Theo định lí hàm số cos ta có:

$\begin{array}{l}\cos \angle AOB = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2OA.OB}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{5{a^2}}}{2} - {a^2}}}{{2OA.OB}} = \dfrac{{3{a^2}}}{{4OA.OB}}\\\cos \angle AOB = \dfrac{3}{5} \Rightarrow OA.OB = \dfrac{5}{4}{a^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có: $O{A^2} + O{B^2} - 2OA.OB = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {OA - OB} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow OA = OB = \dfrac{{\sqrt 5 a}}{2}$

Suy ra $AC = DB$ mà $ABCD$ là hình bình hành nên $ABCD$ là hình chữ nhật.

Do $AD = 2AB$ nên $CDFE$ là hình vuông.

Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $B'C'$ và $A'D'$ , ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD' \bot CF\\MD'//ED \Rightarrow MD' \bot CF\end{array} \right. \Rightarrow CF \bot \left( {CMD'} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}DE \bot CF\\BB' \bot ED \Rightarrow CC' \bot ED\end{array} \right. \Rightarrow ED \bot \left( {CC'NF} \right)\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}$

Gọi $I$ là giao điểm của $C'N$ và $D'M$ . Từ (3) và (4) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}DE \bot CI\\CF \bot CI\end{array} \right. \Rightarrow CI \bot \left( {ABCD} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}d\left( {CD;AA'} \right) = d\left( {\left( {CDD'C'} \right);\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {CDD'C'} \right)} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2d\left( {M;\left( {CDD'C'} \right)} \right) = 4d\left( {I;\left( {CDD'C'} \right)} \right)\\ \Rightarrow d\left( {I;\left( {CDD'C'} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\end{array}$

Gọi $H$ là trung điểm của $C'D'$ . Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l}C'D' \bot IH\\C'D' \bot CI\end{array} \right. \Rightarrow C'D' \bot \left( {CIH} \right)$ $\Rightarrow \left( {CDD'C'} \right) \bot \left( {CIH} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)$

Trong mp $\left( {CIH} \right)$ , kẻ $IK \bot CH\left( {K \in CH} \right)$ . Suy ra $\left( 5 \right) \Leftrightarrow IK \bot \left( {CDD'C'} \right) \Rightarrow IK = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}$ .

Tam giác $CIH$ vuông tại $I$ có đường cao $IK$ nên

$\dfrac{1}{{I{K^2}}} = \dfrac{1}{{I{C^2}}} + \dfrac{1}{{I{H^2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}a} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{I{C^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}}$ $\Rightarrow IC = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}$

Do $CI \bot \left( {ABCD} \right)$ nên thể tích của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là:

${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = CI.{S_{ABCD}} = CI.AB.AD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a.a.2a = \sqrt 3 {a^3}.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.