Bạn An có một cốc giất hình nón có đường kính đáy là \(10cm\) và độ dài đường sinh là

Câu hỏi số 399189:

Vận dụng cao

Bạn An có một cốc giất hình nón có đường kính đáy là \(10cm\) và độ dài đường sinh là \(8cm\). Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao su hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. \(\dfrac{{10\sqrt {39} }}{{13}}cm\)

B. \(\dfrac{{32}}{{\sqrt {39} }}cm\)

C. \(\dfrac{{5\sqrt {39} }}{{13}}cm\)

D. \(\dfrac{{64}}{{\sqrt {39} }}cm\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:399189

Phương pháp giải

- Viên kẹo có đường kính lớn nhất khi nó tiếp xúc được với tất cả các đường sinh và đáy của chiếc cốc.

- Sử dụng tam giác đồng dạng, định lí Pytago để giải bài toán.

Giải chi tiết

Viên kẹo có đường kính lớn nhất khi nó tiếp xúc được với tất cả các đường sinh và đáy của chiếc cốc. Viên kẹo này tiếp xúc với đáy của chiếc cốc tại tâm của đường tròn đáy đó.

Gọi \(O,\,\,I\) lần lượt là tâm mặt đáy của chiếc cốc và tâm của viên kẹo hình cầu.

Giả sử viên kẹo tiếp xúc với đường sinh \(SB\) của cốc giấy tại điểm \(H.\)

Khi đó, \(IH = IO = R\) với \(R\) là bán kính lớn nhất của viên kẹo.

Áp dụng định lí Pi – ta – go vào tam giác vuông \(SOB\) ta được:

\(\begin{array}{l}SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{8^2} - {5^2}} = \sqrt {39} \left( {cm} \right)\\ \Rightarrow SI = SO = IO = \sqrt {39} - R\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta SOB\,\, \sim \,\,\Delta SHI\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{SB}}{{SI}} = \dfrac{{OB}}{{HI}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{8}{{\sqrt {39} - R}} = \dfrac{5}{R}\\ \Leftrightarrow 8R = 5\sqrt {39} - 5R\\ \Leftrightarrow R = \dfrac{{5\sqrt {39} }}{{13}}\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy đường kính lớn nhất của viên kẹo hình cầu là \(d = 2R = \dfrac{{10\sqrt {39} }}{{13}}\,\,cm.\)

Chọn A.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.