Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(SA = a\sqrt {11} ,\) côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng

Câu hỏi số 399190:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(SA = a\sqrt {11} ,\) côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\dfrac{1}{{10}}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng:

A. \(3{a^3}\)

B. \(12{a^3}\)

C. \(4{a^3}\)

D. \(9{a^3}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:399190

Phương pháp giải

- Hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau, các cạnh đáy bằng nhau và hình chiếu vuông góc của

đỉnh xuống mặt đáy trùng với tâm của đáy.

- Tìm góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) để tính cạnh đáy và chiều cao của khối chóp.

- Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng \(h,\) diện tích đáy bằng \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Do \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(ABCD\) là hình vuông, \(O\) là tâm của đáy nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong mp \(\left( {SCD} \right)\), kẻ \(DH \bot SC\,\,\,\left( {H \in SC} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\), ta có:

\(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(SC \bot \left( {DBH} \right) \Rightarrow SC \bot BH\)

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là góc giữa 2 đường thẳng \(DH\) và \(BH\).

Lại có hai tam giác \(SBC\) và \(SCD\) là 2 tam giác cân bằng nhau. Suy ra\(DH = BH\)

Gọi độ dài cạnh của hình vuông \(ABCD\) là \(x\,\,\,\left( {x > 0} \right)\). Suy ra \(BD = AC = \sqrt 2 x\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(DC\) thì \(DM = MC = \dfrac{x}{2}\)

Tam giác \(SCD\) cân tại \(S\) nên \(SM \bot CD\)

Theo định lí Pi – ta – go ta có: \(SM = \sqrt {S{D^2} - D{M^2}} = \sqrt {11{a^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \)

Do đó, \({S_{\Delta SCD}} = \dfrac{1}{2}SM.CD = \dfrac{1}{2}x.\sqrt {11{a^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \)

Suy ra \(BH = DH = \dfrac{{2{S_{\Delta SCD}}}}{{SC}} = \dfrac{{x.\sqrt {11{a^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} }}{{\sqrt {11} a}} = x.\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{44{a^2}}}} \)

Theo giả thiết ta có: \(\cos \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{{10}} \Rightarrow \cos BHD = \pm \dfrac{1}{{10}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos DHB = \dfrac{{D{H^2} + B{H^2} - B{D^2}}}{{2DH.BH}} = \dfrac{{2.{x^2}.\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{44{a^2}}}} \right) - 2{x^2}}}{{2{x^2}\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{44{a^2}}}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{x^2}.\dfrac{{ - {x^2}}}{{44{a^2}}}}}{{\dfrac{{2{x^2}\left( {44{a^2} - {x^2}} \right)}}{{44{a^2}}}}} = \dfrac{{ - {x^2}}}{{44{a^2} - {x^2}}}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 44{a^2}}} = \dfrac{1}{{10}}\\\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 44{a^2}}} = - \dfrac{1}{{10}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - \dfrac{{44}}{9}{a^2}\\{x^2} = 4{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2a\end{array}\)

Suy ra \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {11{a^2} - {{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}} = 3a.\)

Thể tích của khối chóp đã cho là:\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SO.A{B^2} = \dfrac{1}{3}.3a.{\left( {2a} \right)^2} = 4{a^3}.\)

Chọn C.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.