Cho các số thực $a,b\, > 1$ thỏa mãn điều kiện ${\log _{2018}}a + {\log _{2019}}b = {2020^2}$ . Tìm

Câu hỏi số 399191:

Vận dụng cao

Cho các số thực $a,b\, > 1$ thỏa mãn điều kiện ${\log _{2018}}a + {\log _{2019}}b = {2020^2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt {{{\log }_{2019}}a} + \sqrt {{{\log }_{2018}}b}$ ?

2020 \sqrt{{log}_{2019} 2018 + {log}_{2018} 2019}

$2020\sqrt {{{\log }_{2019}}2018 + {{\log }_{2018}}2019}$

\frac{1}{2020} ({log}_{2019} 2018 + {log}_{2018} 2019)

$\dfrac{1}{{2020}}\left( {{{\log }_{2019}}2018 + {{\log }_{2018}}2019} \right)$

\frac{2020}{\sqrt{{log}_{2019} 2018 + {log}_{2018} 2019}}

$\dfrac{{2020}}{{\sqrt {{{\log }_{2019}}2018 + {{\log }_{2018}}2019} }}$

2020 \sqrt{{log}_{2019} 2018} + 2020 \sqrt{{log}_{2018} 2019}

$2020\sqrt {{{\log }_{2019}}2018} + 2020\sqrt {{{\log }_{2018}}2019}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399191

Phương pháp giải

${\log _a}b = {\log _a}c.{\log _c}b\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {0 < a,c \ne 1,\,\,b > 0} \right)$

Sử dụng bất đẳng thức Bunhia – Copski để giải bài toán.

Giải chi tiết

$\begin{array}{l}P = \sqrt {{{\log }_{2019}}a} + \sqrt {{{\log }_{2018}}b} = \sqrt {{{\log }_{2019}}2018.{{\log }_{2018}}a} + \sqrt {{{\log }_{2018}}2019.{{\log }_{2019}}b} \\ = \sqrt {{{\log }_{2019}}2018} .\sqrt {{{\log }_{2018}}a} + \sqrt {{{\log }_{2018}}2019} .\sqrt {{{\log }_{2019}}b} \end{array}$

Bất đẳng thức Bunhia – Copski cho các số dương như sau: $\left( {{a^2} + {x^2}} \right)\left( {{b^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ab + xy} \right)^2}$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{array}{l}{P^2} = {\left( {\sqrt {{{\log }_{2019}}2018} .\sqrt {{{\log }_{2018}}a} + \sqrt {{{\log }_{2018}}2019} .\sqrt {{{\log }_{2019}}b} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\, \le \left( {{{\log }_{2018}}2019 + {{\log }_{2019}}2018} \right).\left( {{{\log }_{2018}}a + {{\log }_{2019}}b} \right)\\ \Rightarrow {P^2} \le {2020^2}.\left( {{{\log }_{2018}}2019 + {{\log }_{2019}}2018} \right)\\ \Leftrightarrow P \le 2020.\sqrt {\left( {{{\log }_{2018}}2019 + {{\log }_{2019}}2018} \right)} \end{array}$

Vậy ${P_{\max }} = 2020.\sqrt {\left( {{{\log }_{2018}}2019 + {{\log }_{2019}}2018} \right)}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.