Cho các số thực \(a,b\, > 1\) thỏa mãn điều kiện \({\log _{2018}}a + {\log _{2019}}b = {2020^2}\). Tìm

Câu hỏi số 399191:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,b\, > 1\) thỏa mãn điều kiện \({\log _{2018}}a + {\log _{2019}}b = {2020^2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt {{{\log }_{2019}}a} + \sqrt {{{\log }_{2018}}b} \)?

A. \(2020\sqrt {{{\log }_{2019}}2018 + {{\log }_{2018}}2019} \)

B. \(\dfrac{1}{{2020}}\left( {{{\log }_{2019}}2018 + {{\log }_{2018}}2019} \right)\)

C. \(\dfrac{{2020}}{{\sqrt {{{\log }_{2019}}2018 + {{\log }_{2018}}2019} }}\)

D. \(2020\sqrt {{{\log }_{2019}}2018} + 2020\sqrt {{{\log }_{2018}}2019} \)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:399191

Phương pháp giải

\({\log _a}b = {\log _a}c.{\log _c}b\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {0 < a,c \ne 1,\,\,b > 0} \right)\)

Sử dụng bất đẳng thức Bunhia – Copski để giải bài toán.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {{{\log }_{2019}}a} + \sqrt {{{\log }_{2018}}b} = \sqrt {{{\log }_{2019}}2018.{{\log }_{2018}}a} + \sqrt {{{\log }_{2018}}2019.{{\log }_{2019}}b} \\ = \sqrt {{{\log }_{2019}}2018} .\sqrt {{{\log }_{2018}}a} + \sqrt {{{\log }_{2018}}2019} .\sqrt {{{\log }_{2019}}b} \end{array}\)

Bất đẳng thức Bunhia – Copski cho các số dương như sau: \(\left( {{a^2} + {x^2}} \right)\left( {{b^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ab + xy} \right)^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

\(\begin{array}{l}{P^2} = {\left( {\sqrt {{{\log }_{2019}}2018} .\sqrt {{{\log }_{2018}}a} + \sqrt {{{\log }_{2018}}2019} .\sqrt {{{\log }_{2019}}b} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\, \le \left( {{{\log }_{2018}}2019 + {{\log }_{2019}}2018} \right).\left( {{{\log }_{2018}}a + {{\log }_{2019}}b} \right)\\ \Rightarrow {P^2} \le {2020^2}.\left( {{{\log }_{2018}}2019 + {{\log }_{2019}}2018} \right)\\ \Leftrightarrow P \le 2020.\sqrt {\left( {{{\log }_{2018}}2019 + {{\log }_{2019}}2018} \right)} \end{array}\)

Vậy \({P_{\max }} = 2020.\sqrt {\left( {{{\log }_{2018}}2019 + {{\log }_{2019}}2018} \right)} \).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.