Cho biểu thức \(P = \frac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \frac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{{{x^2} + \sqrt x

Câu hỏi số 399194:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = \frac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \frac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x\sqrt x + x}}\) với \(x > 0,x \ne 1.\) Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P.\)

A. \(P = 2\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} + 2\,\,;\,\,\,\min P = 2\sqrt 6 + 2\)

B. \(P = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} + 2\,\,;\,\,\,\min P = \sqrt 6 + 2\)

C. \(P = 2\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} + 2\,\,;\,\,\,\min P = 2\sqrt 6 + 2\)

D. \(P = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} + 2\,\,;\,\,\,\min P = \sqrt 6 + 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399194

Phương pháp giải

Rút gọn biểu thức \(P\) rồi biến đổi biểu thức và áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = \frac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \frac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x\sqrt x + x}}\\P = \frac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x .\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\P = \frac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} - \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\\P = \frac{{2x + 2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\P = 2\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} + 2.\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(2\sqrt x ,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) với mọi \(x > 0,\,\,x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}2\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {2\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 6 \\ \Rightarrow 2\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} + 2 \ge 2\sqrt 6 + 2\\ \Rightarrow P \ge 2\sqrt 6 + 2.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy GTNN của \(P\) là \(2\sqrt 6 + 2\) khi \(x = \frac{3}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link