Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ với $AB = a,$

Câu hỏi số 399234:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ với $AB = a,$ $AA' = 2a,$ $A'C = 3a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $A'C'$ , $I$ là giao điểm của đường thẳng $AM$ và $A'C$ . Tính theo $a$ thể tích khối $IABC$ .

$V = \dfrac{2}{3}{a^3}$

$V = \dfrac{2}{9}{a^3}$

$V = \dfrac{4}{9}{a^3}$

$V = \dfrac{4}{3}{a^3}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399234

Phương pháp giải

+) So sánh thể tích của khối tứ diện $IABC$ với thể tích của khối lăng trụ.

+) Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải chi tiết

Ta có: $A'M\parallel AC \Rightarrow \dfrac{{A'M}}{{AC}} = \dfrac{{A'I}}{{IC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{A'C}} = \dfrac{2}{3}.$

Vì $IA' \cap \left( {ABC} \right) = C$ $\Rightarrow \dfrac{{d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {A';\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{IC}}{{A'C}} = \dfrac{2}{3}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{I.ABC}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}}}{{d\left( {A';\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}\\ \Rightarrow {V_{I.ABC}} = \dfrac{2}{9}{V_{ABC.A'B'C'}}\end{array}$

Ta có: $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AC \Rightarrow \Delta AA'C$ vuông tại $A$ .

$\Rightarrow AC = \sqrt {A'{C^2} - AA{'^2}} = \sqrt {9{a^2} - 4{a^2}} = a\sqrt 5 .$

Xét tam giác vuông ABC có: $BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a.$

$\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}a.2a = {a^2}.$

$\Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2a.{a^2} = 2{a^3}.$

Vậy ${V_{I.ABC}} = \dfrac{2}{9}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{2}{9}.2{a^3} = \dfrac{{4{a^3}}}{9}.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.