Biến đổi $\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx}$ thành \(\int\limits_2^3

Câu hỏi số 399896:

Vận dụng

Biến đổi $\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx}$ thành $\int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt}$ với $t = \ln x + 2$ . Khi đó $f\left( t \right)$ là hàm nào trong các hàm số sau?

f (t) = \frac{2}{t^{2}} - \frac{1}{t}

$f\left( t \right) = \frac{2}{{{t^2}}} - \frac{1}{t}$

f (t) = - \frac{1}{t^{2}} + \frac{2}{t}

$f\left( t \right) = - \frac{1}{{{t^2}}} + \frac{2}{t}$

f (t) = \frac{2}{t^{2}} + \frac{1}{t}

$f\left( t \right) = \frac{2}{{{t^2}}} + \frac{1}{t}$

f (t) = - \frac{2}{t^{2}} + \frac{1}{t}

$f\left( t \right) = - \frac{2}{{{t^2}}} + \frac{1}{t}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399896

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$ , đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.$ .

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$ .

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$ .

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt}$ .

Giải chi tiết

Đặt $t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}.$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = e \Rightarrow t = 3\end{array} \right.$

Khi đó ta có: $I = \int\limits_2^3 {\frac{{t - 2}}{{{t^2}}}dt} = \int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt}$ $\Rightarrow f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{{t^2}}} = \frac{1}{t} - \frac{2}{{{t^2}}}.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.