Biến đổi \(\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx} \) thành \(\int\limits_2^3

Câu hỏi số 399896:

Vận dụng

Biến đổi \(\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx} \) thành \(\int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt} \) với \(t = \ln x + 2\). Khi đó \(f\left( t \right)\) là hàm nào trong các hàm số sau?

A. \(f\left( t \right) = \frac{2}{{{t^2}}} - \frac{1}{t}\)

B. \(f\left( t \right) = - \frac{1}{{{t^2}}} + \frac{2}{t}\)

C. \(f\left( t \right) = \frac{2}{{{t^2}}} + \frac{1}{t}\)

D. \(f\left( t \right) = - \frac{2}{{{t^2}}} + \frac{1}{t}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:399896

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = e \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_2^3 {\frac{{t - 2}}{{{t^2}}}dt} = \int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt} \)\( \Rightarrow f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{{t^2}}} = \frac{1}{t} - \frac{2}{{{t^2}}}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.