Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {m;0} \right)\) sao cho

Câu hỏi số 400796:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {m;0} \right)\) sao cho từ \(M\) vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(m \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)

B. \(m \in \left( { - 1; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

C. \(m \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\)

D. \(m \in \left( { - \dfrac{1}{2};0} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400796

Phương pháp giải

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\): \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

- Cho \(M\left( {m;0} \right)\) thuộc tiếp tuyến trên, lập phương trình ẩn \({x_0}\) (tham số \(m\)).

- Tìm điều kiện để phương trình ẩn \({x_0}\) có 3 nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Vi-ét.

- Sử dụng điều kiện 2 đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng \( - 1\), giải phương trình tìm \(m\) và đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = \left( {3x_0^2 + 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2\).

Tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {m;0} \right)\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,0 = \left( {3x_0^2 + 6{x_0}} \right)\left( {m - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2\\ \Leftrightarrow 0 = 2x_0^3 + 3x_0^2 - 3mx_0^2 - 6m{x_0}\\ \Leftrightarrow {x_0}\left( {2x_0^2 + 3{x_0} - 3m{x_0} - 6m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\2x_0^2 + 3\left( {1 - m} \right){x_0} - 6m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để từ \(M\) kẻ được 3 tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\) thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(0\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = 9{\left( {1 - m} \right)^2} + 48m > 0\\ - 6m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} + 30m + 9 > 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > - \dfrac{1}{3}\\m < - 3\end{array} \right.\\m \ne 0\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{3m - 3}}{2}\\{x_1}{x_2} = - 3m\end{array} \right.\).

Hệ số góc của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{k_0} = y'\left( 0 \right) = 0\\{k_1} = y'\left( {{x_1}} \right) = 3x_1^2 + 6{x_1}\\{k_2} = y'\left( {{x_2}} \right) = 3x_2^2 + 6{x_2}\end{array} \right.\).

Vì từ từ \(M\) vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau nên ta có:

\(\begin{array}{l}{k_1}{k_2} = - 1 \Leftrightarrow \left( {3x_1^2 + 6{x_1}} \right)\left( {3x_2^2 + 6{x_2}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + 18{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 36{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 9.{\left( { - 3m} \right)^2} + 18\left( { - 3m} \right).\dfrac{{3m - 3}}{2} + 36\left( { - 3m} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 81{m^2} - 81{m^2} + 81m - 108m = - 1\\ \Leftrightarrow - 27m = - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{{27}}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.