Tìm tham số \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đồng thời các

Câu hỏi số 402017:

Vận dụng cao

Tìm tham số \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({\log _{2019}}\left( {x + y} \right) \le 0\) và \(x + y + \sqrt {2xy + m} \ge 1\).

A. \(m = - \dfrac{1}{2}\)

B. \(m = 0\)

C. \(m = 2\)

D. \(m = - \dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402017

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l} + )\,\,{\log _{2019}}\left( {x + y} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow x + y \le 1 \Leftrightarrow x + y - 1 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ + )\,\,x + y + \sqrt {2xy + m} \ge 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {2xy + m} \ge 1 - x - y\\ \Leftrightarrow 2xy + m \ge {\left( {1 - x - y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2xy + m \ge {x^2} + {y^2} + 1 - 2x - 2y + 2xy\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - m + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le m + 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1\).

Với \(m = - 1\) ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\end{array} \right.\). Cặp số này không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\).

Với \(m > - 1\).

Tập hợp các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (1) là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng \(x + y - 1 = 0\,\,\left( d \right)\) chứa điểm \(O\).

Tập hợp các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (2) là hình tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {1;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {m + 1} \,\,\,\left( {m > - 1} \right)\).

Để tồn tại duy nhất cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (1) và (2) thì \(\left( d \right)\) phải tiếp xúc với \(\left( C \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt {m + 1} \Leftrightarrow \sqrt {m + 1} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow m + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.