Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH\,\,\,\left( {H \in BC} \right).\) Đường tròn

Câu hỏi số 402055:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH\,\,\,\left( {H \in BC} \right).\) Đường tròn đường kính \(AH\) cắt hai cạnh \(AB,AC\) theo thứ tự là \(M\) và \(N.\)

a) Chứng minh tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác \(BMNC\) là tứ giác nội tiếp.

c) Qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(MN\) cắt \(BC\) tại \(I.\) Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{4}{{A{B^2} + A{C^2}}}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:402055

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(AMHN\) có bốn góc vuông.

b) Chứng minh tứ giác \(BMHC\) có hai góc cùng chắn một cung bằng nhau.

c) Ta sẽ chứng minh \(IA = IB = IC\) và vận dụng định lý Py – ta – go cho tam giác vuông \(ABC\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật.

Gọi \(O\) là tâm đường tròn đường kính \(AH\)

\(\angle AMH = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm \(O\))

\(\angle ANH = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm \(O\))

Do \(\angle AMH = \angle ANH = \angle MAN = {90^0}\) nên \(AMHN\) là hình chữ nhật (đpcm).

b) Chứng minh tứ giác \(BMNC\) là tứ giác nội tiếp.

Vì \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(OM = ON\)

Suy ra tam giác \(OAM\) cân tại \(O\) nên \(\angle {A_1} = \angle {M_1}\)

Mà \(\angle {A_1} = \angle C\) (cùng phụ với góc \(\angle B\)) \( \Rightarrow \angle {M_1} = \angle C\)

Mặt khác \(\angle {M_1} + \angle BMN = {180^0}\) (hai góc kề nhau) \( \Rightarrow \angle BMN + \angle C = {180^0}\)

Ta có: \(\angle BMN + \angle C = {180^0}\) và hai góc này ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác \(BMNC\) nội tiếp (dhnb) (đpcm).

c) Qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(MN\) cắt \(BC\) tại \(I.\) Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{4}{{A{B^2} + A{C^2}}}.\)

Ta có: \(\angle {A_2} + \angle {N_1} = {90^0}\,\,;\,\,\angle {M_1} + {N_1} = {90^0}\)

Nên \(\angle {A_2} = \angle {M_1}\) mà \(\angle {M_1} = \angle C\) (theo b) \( \Rightarrow \angle {A_2} = \angle C\) \( \Rightarrow \Delta IAC\) cân tại \(I\,\, \Rightarrow IA = IC.\)

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta IAB\) cân tại \(I\) nên \(IA = IB.\)

Vậy \(IA = IB = IC = \frac{{BC}}{2}\,\, \Rightarrow 2IA = BC\,\, \Rightarrow 4I{A^2} = B{C^2}\)

Mà \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\,\, \Rightarrow 4I{A^2} = A{B^2} + A{C^2}\,\, \Rightarrow \frac{1}{{I{A^2}}} = \frac{4}{{A{B^2} + A{C^2}}}\) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.