Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Cho tam giác  ABC vuông tại A, đường cao AH(H∈BC). Đường tròn

Câu hỏi số 402055:
Vận dụng

Cho tam giác  ABC vuông tại A, đường cao AH(H∈BC). Đường tròn đường kính AH cắt hai cạnh AB,AC theo thứ tự là M và N.

a) Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp.

c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt BC tại I. Chứng minh rằng 1AI2=4AB2+AC2.

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:402055
Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác AMHN có bốn góc vuông.

b) Chứng minh tứ giác BMHC có hai góc cùng chắn một cung bằng nhau.

c) Ta sẽ chứng minh IA=IB=IC và vận dụng định lý Py – ta – go cho tam giác vuông ABC.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm đường tròn đường kính AH

∠AMH=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

∠ANH=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

Do ∠AMH=∠ANH=∠MAN=900 nên AMHN là hình chữ nhật (đpcm).

b) Chứng minh tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp.

Vì AMHN là hình chữ nhật nên OM=ON

Suy ra tam giác OAM cân tại O nên ∠A1=∠M1

Mà ∠A1=∠C (cùng phụ với góc ∠B) ⇒∠M1=∠C

Mặt khác ∠M1+∠BMN=1800 (hai góc kề nhau) ⇒∠BMN+∠C=1800

Ta có: ∠BMN+∠C=1800 và hai góc này ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp (dhnb) (đpcm).

c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt BC tại I. Chứng minh rằng 1AI2=4AB2+AC2.

Ta có: ∠A2+∠N1=900;∠M1+N1=900

Nên ∠A2=∠M1 mà ∠M1=∠C (theo b) ⇒∠A2=∠C ⇒ΔIAC cân tại I⇒IA=IC.

Chứng minh tương tự ta có ΔIAB cân tại I nên IA=IB.

Vậy IA=IB=IC=BC2⇒2IA=BC⇒4IA2=BC2

Mà BC2=AB2+AC2⇒4IA2=AB2+AC2⇒1IA2=4AB2+AC2 (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn
@!-/#Chào mỪng1
@!-/#Chào mỪng1