Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca > 0\). Chứng minh

Câu hỏi số 402190:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca > 0\).

Chứng minh rằng: \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge 2.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:402190

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Ta có: \(a + b + c = a + \left( {b + c} \right) \ge 2\sqrt {a\left( {b + c} \right)} \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 4a\left( {b + c} \right)\)

Lưu ý: Với điều kiện \(ab + bc + ca > 0 \Rightarrow \) có không quá một số trong ba số \(a,b,c\) bằng không.

\( \Rightarrow \frac{1}{{b + c}} \ge \frac{{4a}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} \Rightarrow \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} \ge \frac{{2a}}{{a + b + c}}\)

Tương tự ta có: \(\sqrt {\frac{b}{{c + a}}} \ge \frac{{2b}}{{a + b + c}};\,\,\,\,\sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge \frac{{2c}}{{a + b + c}}\)

\( \Rightarrow \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge \frac{{2a + 2b + 2c}}{{a + b + c}} = 2.\)

Vậy \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge 2.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.