Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca > 0\). Chứng minh

Câu hỏi số 402190:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca > 0\).

Chứng minh rằng: \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge 2.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402190

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Ta có: \(a + b + c = a + \left( {b + c} \right) \ge 2\sqrt {a\left( {b + c} \right)} \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 4a\left( {b + c} \right)\)

Lưu ý: Với điều kiện \(ab + bc + ca > 0 \Rightarrow \) có không quá một số trong ba số \(a,b,c\) bằng không.

\( \Rightarrow \frac{1}{{b + c}} \ge \frac{{4a}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} \Rightarrow \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} \ge \frac{{2a}}{{a + b + c}}\)

Tương tự ta có: \(\sqrt {\frac{b}{{c + a}}} \ge \frac{{2b}}{{a + b + c}};\,\,\,\,\sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge \frac{{2c}}{{a + b + c}}\)

\( \Rightarrow \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge \frac{{2a + 2b + 2c}}{{a + b + c}} = 2.\)

Vậy \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge 2.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link