Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca > 0\). Chứng minh

Câu hỏi số 402190:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca > 0\).

Chứng minh rằng: \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge 2.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402190

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Ta có: \(a + b + c = a + \left( {b + c} \right) \ge 2\sqrt {a\left( {b + c} \right)} \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 4a\left( {b + c} \right)\)

Lưu ý: Với điều kiện \(ab + bc + ca > 0 \Rightarrow \) có không quá một số trong ba số \(a,b,c\) bằng không.

\( \Rightarrow \frac{1}{{b + c}} \ge \frac{{4a}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} \Rightarrow \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} \ge \frac{{2a}}{{a + b + c}}\)

Tương tự ta có: \(\sqrt {\frac{b}{{c + a}}} \ge \frac{{2b}}{{a + b + c}};\,\,\,\,\sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge \frac{{2c}}{{a + b + c}}\)

\( \Rightarrow \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge \frac{{2a + 2b + 2c}}{{a + b + c}} = 2.\)

Vậy \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge 2.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link