Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:y = 2mx + m + 2\) (\(m\) là tham số) và parabol

Câu hỏi số 402189:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:y = 2mx + m + 2\) (\(m\) là tham số) và parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}.\) Chứng minh với mọi giá trị của \(m\) thì \(d\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}.\) Tìm \(m\) sao cho \(x_1^2 - 6x_2^2 - {x_1}{x_2} = 0\).

A. \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {33} }}{4}\)

B. \(m = \pm 1\)

C. \(m = \pm 3\)

D. \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402189

Phương pháp giải

Đường thẳng \(d\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

Áp dụng định lý Vi-et và hệ thức bài cho để tìm \(m.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

\(x_1^2 - 6x_2^2 - {x_1}{x_2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 3{x_2}} \right)\left( {{x_1} + 2{x_2}} \right) = 0\)

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\)và \(\left( P \right)\) là:

\(2{x^2} = 2mx + m + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2mx - m - 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - 2\left( { - m - 2} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 3 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow d\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Gọi \({x_1},{x_2}\)là hai nghiệm của \(\left( * \right).\) Theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - m - 2}}{2}\end{array} \right.\).

Theo giả thiết : \(x_1^2 - 6x_2^2 - {x_1}{x_2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 3{x_2}} \right)\left( {{x_1} + 2{x_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 3{x_2}\\{x_1} = - 2{x_2}\end{array} \right.\)

TH1:\({x_1} = 3{x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{m}{4}\\{x_1} = \frac{{3m}}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{m}{4}.\frac{{3m}}{4} = \frac{{ - m - 2}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{m^2} = - 8m - 16\\ \Leftrightarrow 3{m^2} + 8m + 16 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

TH2:\({x_1} = - 2{x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - m\\{x_1} = 2m\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow - 2{m^2} = \frac{{ - m - 2}}{2} \Leftrightarrow 4{m^2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}\)

Vậy \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}\) là các giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link