Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:y = 2mx + m + 2\) (\(m\) là tham số) và parabol

Câu hỏi số 402189:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:y = 2mx + m + 2\) (\(m\) là tham số) và parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}.\) Chứng minh với mọi giá trị của \(m\) thì \(d\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}.\) Tìm \(m\) sao cho \(x_1^2 - 6x_2^2 - {x_1}{x_2} = 0\).

A. \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {33} }}{4}\)

B. \(m = \pm 1\)

C. \(m = \pm 3\)

D. \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:402189

Phương pháp giải

Đường thẳng \(d\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

Áp dụng định lý Vi-et và hệ thức bài cho để tìm \(m.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

\(x_1^2 - 6x_2^2 - {x_1}{x_2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 3{x_2}} \right)\left( {{x_1} + 2{x_2}} \right) = 0\)

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\)và \(\left( P \right)\) là:

\(2{x^2} = 2mx + m + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2mx - m - 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - 2\left( { - m - 2} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 3 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow d\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Gọi \({x_1},{x_2}\)là hai nghiệm của \(\left( * \right).\) Theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - m - 2}}{2}\end{array} \right.\).

Theo giả thiết : \(x_1^2 - 6x_2^2 - {x_1}{x_2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 3{x_2}} \right)\left( {{x_1} + 2{x_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 3{x_2}\\{x_1} = - 2{x_2}\end{array} \right.\)

TH1:\({x_1} = 3{x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{m}{4}\\{x_1} = \frac{{3m}}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{m}{4}.\frac{{3m}}{4} = \frac{{ - m - 2}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{m^2} = - 8m - 16\\ \Leftrightarrow 3{m^2} + 8m + 16 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

TH2:\({x_1} = - 2{x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - m\\{x_1} = 2m\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow - 2{m^2} = \frac{{ - m - 2}}{2} \Leftrightarrow 4{m^2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}\)

Vậy \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}\) là các giá trị cần tìm.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.