Cho tam giác \(ABC\,\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(I.\) Gọi \(E\) là

Câu hỏi số 402191:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\,\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(I.\) Gọi \(E\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên đường thẳng \(AI\). \(T\) là giao điểm của \(BE\) và đường tròn tâm \(I.\)

a) Chứng minh rằng tam giác \(ABT\) cân tại \(A.\) Từ đó suy ra \(AC\) là đường phân giác của \(\angle BCT.\)

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) là giao điểm của \(ME\) và \(AC.\) Chứng minh rằng \(BD \bot AC.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:402191

Phương pháp giải

a) Chứng minh tam giác \(ABT\) cân.

b) Chứng minh tứ giác \(ABEC\) nội tiếp.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng tam giác \(ABT\) cân tại \(A.\) Từ đó suy ra \(AC\) là đường phân giác của \(\angle BCT.\)

Ta có: \(AE \bot BT\,\,\left( {gt} \right)\)

Do \(AE\) đi qua tâm \(I\) nên \(E\) là trung điểm của \(BT\)\( \Rightarrow \Delta ABT\)cân tại \(A.\)

Ta có: \( \angle BCA = \frac{1}{2}sdcungAB\) và \(\angle ACT = \frac{1}{2}sdcungAT.\)

Do \(sdcungAB = sdcungAT.\)

\( \Rightarrow \angle BCA = \angle ACT\) hay \(AC\) là đường phân giác của \(\angle BCT.\)

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) là giao điểm của \(ME\) và \(AC.\) Chứng minh rằng \(BD \bot AC.\)

Ta có \(\angle IEB = \angle IBM = {90^0} \Rightarrow BMEI\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle BIM = \angle BEM\).

Mặt khác \(\angle BIM = \frac{1}{2}\angle BIC = \angle BAC \Rightarrow \angle BEM = \angle BAC\)

Do đó \(\angle BED + \angle BAD = \angle BED + \angle BEM = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ABEC\)nội tiếp. (dhnb)

\( \Rightarrow \angle BDA = \angle BEA = {90^0}\) hay \(BD \bot AC\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.