Cho tam giác \(ABC,\) trên trung tuyến \(AD\) lấy điểm \(I\) cố định \(\left( {I \ne A,\,\,D} \right).\)

Câu hỏi số 402192:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC,\) trên trung tuyến \(AD\) lấy điểm \(I\) cố định \(\left( {I \ne A,\,\,D} \right).\) Đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) cắt các cạnh \(AB,AC\) lần lượt tại \(M,N.\) Xác định vị trí của đường thẳng \(d\) để diện tích \(\Delta AMN\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi:402192

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ số diện tích của hai tam giác và bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Từ \(B,C\) kẻ các đường thẳng song song với đường thẳng \(d,\) cắt đường thẳng \(AD\) lần lượt tại \(E\) và \(F\)

Ta có: \(\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{AE}}{{AI}} + \frac{{AF}}{{AI}} = \frac{{AE + AF}}{{AI}} = 2.\frac{{AD}}{{AI}}\) (không đổi).

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M,B\) trên \(AC.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BK}}{{MH}} = \frac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AMN}}}} = \frac{{BK.AC}}{{MH.AN}} = \frac{{AB}}{{AM}}.\frac{{AC}}{{AN}}\\ \le {\left( {\frac{{\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}}}}{2}} \right)^2} = \frac{{A{D^2}}}{{A{I^2}}} \Rightarrow {S_{AMN}} \ge {S_{ABC}}.\frac{{A{I^2}}}{{A{D^2}}}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{AC}}{{AN}} \Leftrightarrow MN\,{\rm{//}}\,BC\)

Vậy \(\min \left( {{S_{AMN}}} \right) = {S_{ABC}}.\frac{{A{I^2}}}{{A{D^2}}}\) khi \(d\) là đường thẳng đi qua \(I\) và song song với \(BC.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.