Cho tam giác \(ABC,\) trên trung tuyến \(AD\) lấy điểm \(I\) cố định \(\left( {I \ne A,\,\,D} \right).\)
Cho tam giác \(ABC,\) trên trung tuyến \(AD\) lấy điểm \(I\) cố định \(\left( {I \ne A,\,\,D} \right).\) Đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) cắt các cạnh \(AB,AC\) lần lượt tại \(M,N.\) Xác định vị trí của đường thẳng \(d\) để diện tích \(\Delta AMN\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Quảng cáo
Sử dụng tỉ số diện tích của hai tam giác và bất đẳng thức Cauchy.
Từ \(B,C\) kẻ các đường thẳng song song với đường thẳng \(d,\) cắt đường thẳng \(AD\) lần lượt tại \(E\) và \(F\)
Ta có: \(\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{AE}}{{AI}} + \frac{{AF}}{{AI}} = \frac{{AE + AF}}{{AI}} = 2.\frac{{AD}}{{AI}}\) (không đổi).
Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M,B\) trên \(AC.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BK}}{{MH}} = \frac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AMN}}}} = \frac{{BK.AC}}{{MH.AN}} = \frac{{AB}}{{AM}}.\frac{{AC}}{{AN}}\\ \le {\left( {\frac{{\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}}}}{2}} \right)^2} = \frac{{A{D^2}}}{{A{I^2}}} \Rightarrow {S_{AMN}} \ge {S_{ABC}}.\frac{{A{I^2}}}{{A{D^2}}}.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{AC}}{{AN}} \Leftrightarrow MN\,{\rm{//}}\,BC\)
Vậy \(\min \left( {{S_{AMN}}} \right) = {S_{ABC}}.\frac{{A{I^2}}}{{A{D^2}}}\) khi \(d\) là đường thẳng đi qua \(I\) và song song với \(BC.\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
