Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\frac{{x + y\sqrt {2019} }}{{y + z\sqrt {2019} }}\)

Câu hỏi số 402193:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\frac{{x + y\sqrt {2019} }}{{y + z\sqrt {2019} }}\) là số hữu tỷ và \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) là số nguyên tố.

A. \(x = 2\,\,;\,\,y = 2\,\,;\,\,z = 1\)

B. \(x = 1\,\,;\,\,y = 1\,\,;\,\,z = 2\)

C. \(x = y = z = 2\)

D. \(x = y = z = 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402193

Phương pháp giải

Từ giả thiết chứng minh \({y^2} = zx\) sau đó phân tích \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \left( {x + y + z} \right)\left( {x - y + z} \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(\frac{{x + y\sqrt {2019} }}{{y + z\sqrt {2019} }} = \frac{m}{n} \Leftrightarrow nx - my = \sqrt {2019} \left( {mz - ny} \right)\left( {m,n \in \mathbb{Z},n \ne 0} \right)\)

Để \(nx - my = \sqrt {2019} \left( {mz - ny} \right) \in \mathbb{Q}\)ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}nx - my = 0\\mz - ny = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{y}{z} \Rightarrow {y^2} = zx\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x + z} \right)^2} - 2xz + {y^2} = {\left( {x + z} \right)^2} - {y^2}\\ = \left( {x + y + z} \right)\left( {x - y + z} \right)\end{array}\)

Vì \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) là số nguyên tố, \(x + y + z\) là số nguyên lớn hơn \(1.\)

\( \Rightarrow x - y + z = 1 \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = x + y + z\)

Mà \({x^2} \ge x;{y^2} \ge y;{z^2} \ge z \Rightarrow x = 1;y = 1;z = 1\)

Vậy \(x = y = z = 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link