Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\frac{{x + y\sqrt {2019} }}{{y + z\sqrt {2019} }}\)
Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\frac{{x + y\sqrt {2019} }}{{y + z\sqrt {2019} }}\) là số hữu tỷ và \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) là số nguyên tố.
Đáp án đúng là: D
Từ giả thiết chứng minh \({y^2} = zx\) sau đó phân tích \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \left( {x + y + z} \right)\left( {x - y + z} \right)\).
Đặt \(\frac{{x + y\sqrt {2019} }}{{y + z\sqrt {2019} }} = \frac{m}{n} \Leftrightarrow nx - my = \sqrt {2019} \left( {mz - ny} \right)\left( {m,n \in \mathbb{Z},n \ne 0} \right)\)
Để \(nx - my = \sqrt {2019} \left( {mz - ny} \right) \in \mathbb{Q}\)ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}nx - my = 0\\mz - ny = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{y}{z} \Rightarrow {y^2} = zx\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x + z} \right)^2} - 2xz + {y^2} = {\left( {x + z} \right)^2} - {y^2}\\ = \left( {x + y + z} \right)\left( {x - y + z} \right)\end{array}\)
Vì \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) là số nguyên tố, \(x + y + z\) là số nguyên lớn hơn \(1.\)
\( \Rightarrow x - y + z = 1 \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = x + y + z\)
Mà \({x^2} \ge x;{y^2} \ge y;{z^2} \ge z \Rightarrow x = 1;y = 1;z = 1\)
Vậy \(x = y = z = 1\).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
