Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đường thẳng

Câu hỏi số 402300:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 2\)

1) Vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) lên cùng mặt phẳng tọa độ.

2) Tìm tọa độ giao điểm \(A\) và \(B\) của đường thẳng \(\left( d \right)\) với parabol \(\left( P \right)\) (với \(A\) có hoành độ dương).

3) Tính diện tích tam giác \(OAB\).

A. \(2)\,\,\left ( 1; - 1 \right )\,\,;\,\,\left ( 2; 1 \right )\)

\(3)\,\,S_{OAB} = 2\)

B. \(2)\,\,\left ( 1; - 1 \right )\,\,;\,\,\left ( - 2; - 4 \right )\)

\(3)\,\,S_{OAB} = 3\)

C. \(2)\,\,\left ( - 1; - 3 \right )\,\,;\,\,\left ( - 2; - 4 \right )\)

\(3)\,\,S_{OAB} = 3\)

D. \(2)\,\,\left ( - 1; - 3 \right )\,\,;\,\,\left (2; 1 \right )\)

\(3)\,\,S_{OAB} = 2\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:402300

Phương pháp giải

1) Lập bảng giá trị rồi lần lượt vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) lên cùng mặt phẳng tọa độ.

2) Tìm giao điểm bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số để tìm hoanh độ \(x,\) sau đó thay vào 1 trong 2 hàm để tìm \(y.\)

3) Chia tam giác \(OAB\) thành hai tam giác nhỏ \(\Delta OBM\) và \(\Delta OAM\,\left( {M\left( {0; - 2} \right)} \right)\) để dễ dàng tính diện tích hơn.

Giải chi tiết

1) Vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) lên cùng mặt phẳng tọa độ.

+) Vẽ \(\left( P \right):y = - {x^2}\)

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị \(\left( P \right)\) là đường cong đi qua 5 điểm \(\left( { - 2; - 4} \right);\left( { - 1; - 1} \right);\left( {0;0} \right);\left( {1; - 1} \right);\left( {2; - 4} \right)\)

+) Vẽ \(\left( d \right):y = x - 2\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y = - 2\)

Với \(y = 0 \Rightarrow x = 2\)

Vậy đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 2\) là đường thẳng cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại 2 điểm \(\left( {2;0} \right);\left( {0; - 2} \right)\).

2) Tìm tọa độ giao điểm \(A\) và \(B\) của đường thẳng \(\left( d \right)\) với parabol \(\left( P \right)\) (với \(A\) có hoành độ dương).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\)và \(\left( P \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - {x^2} = x - 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow y = x - 2 = - 4\\x = 1 \Rightarrow y = x - 2 = - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(A\) có hoành độ dương nên \(A\left( {1; - 1} \right);B\left( { - 2; - 4} \right)\)

Vậy giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là \(A\left( {1; - 1} \right);B\left( { - 2; - 4} \right).\)

3) Tính diện tích tam giác \(OAB\).

Gọi \(M\left( {0; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {S_\Delta }_{OAB} = {S_\Delta }_{OBM} + {S_\Delta }_{OAM}\)

Ta có: tam giác \(OBM\) và \(OAM\) lần lượt có đáy là \(OM\) và chiều cao là độ lớn của hoành độ hai điểm \(B\) và \(A\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S{\Delta _{OAB}} = {S_{\Delta OBM}} + {S_{\Delta OAM}} = \frac{1}{2}.OM.\left| {{x_B}} \right| + \frac{1}{2}.OM.\left| {{x_A}} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.2.2 + \frac{1}{2}.2.1 = 3.\end{array}\)

Vậy \({S_{OAB}} = 3.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.