Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0\) 1) Tìm \(m\) để phương trình có hai

Câu hỏi số 402301:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0\)

1) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) trái dấu.

2) Chứng minh biểu thức \(M = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\) không phụ thuộc vào \(m.\)

A. \(1)\,\,m < 4\)

B. \(1)\,\,m > 4\)

C. \(1)\,\,m \le 4\)

D. \(1)\,\,m \ge 4\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

1) Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0.\)

2) Áp dụng định lý Vi-et và thay giá trị của \({x_1} + {x_2};\,\,{x_1}{x_2}\) vào biểu thức \(M\) rồi biến đổi để chứng minh nó không phụ thuộc vào \(m.\)

Giải chi tiết

1) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) trái dấu.

Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow 1.\left( {m - 4} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 4.\)

Vậy \(m < 4\) thì phương trình có hai nghiệm trái dấu \({x_1},\,\,{x_2}.\)

2) Chứng minh biểu thức \(M = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\) không phụ thuộc vào \(m.\)

Với \(m < 4\) thì phương trình có hai nghiệm trái dấu \({x_1},\,\,{x_2}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = m - 4\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}M = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\\ = {x_1} - {x_1}{x_2} + {x_2} - {x_1}{x_2}\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2}\\ = \left( {2m + 2} \right) - 2.\left( {m - 4} \right)\\ = 2m + 2 - 2m + 8\\ = 10.\end{array}\)

Vậy biểu thức \(M = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\) không phụ thuộc vào \(m\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:402301

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.