Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Đường tròn đường kính \(AB\)

Câu hỏi số 402304:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Đường tròn đường kính \(AB\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\) (khác \(B\)). Lấy điểm \(E\) bất kỳ trên cung nhỏ \(AD\) (\(E\) không trùng \(A\) với và \(D\)), \(BE\) cắt cạnh \(AC\) tại \(F\).

1) Chứng minh rằng: \(CDEF\) là tứ giác nội tiếp.

2) Cho tích \(BE.BF = a\). Tính tích \(BD.BC\).

Xem lời giải

Câu hỏi:402304

Phương pháp giải

1) Tứ giác nội tiếp khi có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\).

2) Chứng minh \(\Delta BED \sim \Delta BCF\) rồi suy ra tỉ số cần tính.

Giải chi tiết

1) Chứng minh rằng: \(CDEF\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(\angle ADB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(AB\)

\( \Rightarrow \angle ADB = {90^0}.\)

\( \Rightarrow \angle BAD + \angle DBA = {90^0}\) (\(\Delta ABD\) vuông tại \(D\)). (1)

Xét đường tròn đường kính \(AB\) ta có:

\(\angle BAD = \angle BED\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\)). (2)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\angle ABC + \angle BCA = {90^0}\,\,\,\,hay\,\,\,\angle ABD + \angle BCA = {90^0}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \angle BED = \angle BCA\,\,\,hay\,\,\,\angle BED = \angle FCD\)

Xét tứ giác \(CDEF\) ta có:

\(\angle BED = \angle FCD\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow CDEF\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn đoạn thẳng đối diện dưới các góc bằng nhau). (đpcm).

2) Cho tích \(BE.BF = a\). Tính tích \(BD.BC\).

Xét \(\Delta BED\)và \(\Delta BCF\) có:

\(\begin{array}{l}\angle EBD\,chung\\\angle BED = \angle BCF\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BED \sim \Delta BCF\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BD}}{{BF}} = \frac{{BE}}{{BC}}\\ \Rightarrow BD.BC = BE.BF = a\end{array}\)

Vậy \(BD.BC = a\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.