Cho tứ giác \(ABCD\) ngoại tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần

Câu hỏi số 402528:

Vận dụng

Cho tứ giác \(ABCD\) ngoại tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn \(\left( O \right)\) với \(AB,\) \(BC,\) \(CD,\) \(DA.\) Chứng minh rằng \(NP,\,\,MQ,\,\,BD\) đồng quy.

Xem lời giải

Câu hỏi:402528

Phương pháp giải

- Gọi \(I\) là giao điểm của \(QM\) và \(BD\).

- Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(ABD\), chứng minh \( \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{QD}}.\dfrac{{ID}}{{IB}} = 1.\)

- Chứng minh \(\dfrac{{PC}}{{PD}}.\dfrac{{ID}}{{IB}}.\dfrac{{NB}}{{NC}} = 1\), tiếp tục áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(BCD\), chứng minh \(P,\,\,N,\,\,I\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của \(QM\) và \(BD\). Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(ABD\) với 3 điểm \(Q,\,\,M,\,\,I\) thẳng hàng ta có \(\dfrac{{QA}}{{QD}}.\dfrac{{ID}}{{IB}}.\dfrac{{MB}}{{MA}} = 1\) mà \(MA = QA\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{QD}}.\dfrac{{ID}}{{IB}} = 1.\)

Ta có \(MB = NB,\,\,DQ = DP,\,\,PC = NC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{DP}}.\dfrac{{ID}}{{IB}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{PD}}.\dfrac{{ID}}{{IB}}.\dfrac{{NB}}{{NC}} = 1,\) do đó theo định lý Menelaus ta được \(I,\,\,N,\,\,P\) thẳng hàng.

Vậy \(NP,MQ,BD\) đồng quy tại \(I\) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.