Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Qua \(B\) kẻ tiếp tuyến \(d\) của đường

Câu hỏi số 402529:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Qua \(B\) kẻ tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( O \right).\) \(MN\) là một đường kính thay đổi của đường tròn (\(M\) không trùng với \(A,\,\,B\)). Các đường thẳng \(AM,\,\,AN\) cắt đường thẳng \(d\) lần lượt tại \(C,\,\,D.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(CO\) và \(BM.\) Đường thẳng \(AI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E,\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(F.\) Chứng minh \(CE,\,\,OM,\,\,AD\) đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402529

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí Menelaus chứng minh \(\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{FB}}{{FC}}\), từ đó suy ra \(MF\parallel AB\).

- Chứng minh tứ giác \(MEFC\) là tứ giác nội tiếp.

- Chứng minh \(\angle CEM = \angle NEM = {90^0}\), từ đó chứng minh \(C,\,\,E,\,\,N\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác \(ACO\) ta có: \(\dfrac{{BA}}{{BO}}.\dfrac{{IO}}{{IC}}.\dfrac{{MC}}{{MA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{IO}}{{IC}} = \dfrac{{MA}}{{2MC}}\,\,\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{{IO}}{{IC}} = \dfrac{{FB}}{{2FC}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{FB}}{{FC}} \Rightarrow MF\parallel AB\) (Định lý Thales đảo)

Mà \(AB \bot BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow MF \bot BC \Rightarrow \widehat {MFC} = {90^0}.\)

Ta có: \(\angle EFB = \angle EBA\) (cùng phụ với \(\angle EAB\))

\(\angle EBA = \angle EMC\) (tứ giác \(AMEB\) nội tiếp)

\( \Rightarrow \angle EFB = \angle EMC \Rightarrow MEFC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {MEC} = \widehat {MFC} = {90^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC\)) \( \Rightarrow ME \bot EC.\)

Lại có \(\widehat {MEN} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow ME \bot EN.\)

\( \Rightarrow \angle CEN = \angle CEM + \angle NEM = {180^0}\) \( \Rightarrow C,\,\,E,\,\,N\) thẳng hàng \( \Rightarrow \)\(CE,OM,AD\) đồng quy tại \(N\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link