Cho đường tròn \(\left( O \right)\), các tiếp tuyến với đường tròn tại \(B\) và \(C\) cắt nhau

Câu hỏi số 402527:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\), các tiếp tuyến với đường tròn tại \(B\) và \(C\) cắt nhau ở \(A\) tạo thành \(\angle BAC = {60^0}\). Gọi \(M\) là một điểm thuộc cung nhỏ \(BC.\) Tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn cắt \(AB,\,\,AC\) tại \(D,\,\,E.\) Gọi giao điểm của \(OD,\,\,OE\) với \(BC\) lần lượt là \(I,\,\,K.\) Chứng minh rằng \(OM,\,\,DK,\,\,EI\) đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402527

Phương pháp giải

- Chứng minh \(\angle IOE = \angle ICE = {60^0}\).

- Chứng minh tứ giác \(IOCE\) là tứ giác nội tiếp.

- Chứng minh \(\angle OIE = {90^0}\), từ đó suy ra \(EI \bot OD\).

- Tương tự chứng inh \(DK \bot OE\), từ đó suy ra \(OM,\,\,DK,\,\,EI\) là 3 đường cao của cùng một tam giác.

- Sử dụng tính đồng quy của 3 đường cao trong một tam giác.

Giải chi tiết

Xét tứ giác \(OBAC\) có: \(\angle OBA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(OBAC\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle BOC = {180^0} - \angle BAC = {120^0}\).

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có \(OD,\,\,OE\) lần lượt là tia phân giác của các góc \(\angle BOM,\,\,\angle COM\).

\( \Rightarrow \angle DOE = \angle DOM + \angle EOM\)\( = \dfrac{1}{2}\angle BOM + \dfrac{1}{2}\angle COM = \dfrac{1}{2}\angle BOC = {60^0}\) \( \Rightarrow \angle IOE = {60^0}\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(AB = AC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau), \(\angle BAC = {60^0}\).

\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \angle ACB = \angle ICE = {60^0}\).

Xét tứ giác \(IOCE\) có \(\angle ICE = \angle IOE = {60^0}\,\,\left( {cmt} \right)\) nên tứ giác \(IOCE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle EIO + \angle ECO = {180^0}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) \( \Rightarrow \angle EIO = {90^0}\).

\( \Rightarrow EI \bot DO\).

Tương tự ta có \(DK \bot OE\) mà \(OM \bot DE\), suy ra \(EI,\,\,OM,\,\,DK\) là ba đường cao của tam giác \(ODE\) do đó chúng đồng quy (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link