Cho tam giác \(ABC.\) Vẽ bên ngoài tam giác \(ABC\) các tam giác đều \(ABE,\,\,ACF,\,\,BCD.\) Chứng minh
Cho tam giác \(ABC.\) Vẽ bên ngoài tam giác \(ABC\) các tam giác đều \(ABE,\,\,ACF,\,\,BCD.\) Chứng minh rằng \(AD,\,\,BF,\,\,CE\) đồng quy.
Quảng cáo
- Chứng minh \(\Delta EAC = \Delta BAF\) (c.g.c), từ đó chứng minh \(\angle AGB = \angle AGC = {120^0}\).
- Chứng minh \(\angle BGC = {120^0}\).
- Chứng minh tứ giác \(GBDC\) là tứ giác nội tiếp.
- Tính \(\angle DGC\).
- Chứng minh \(\angle AGD = {180^0}\).
Gọi \(G\) là giao điểm của \(BF\) và \(CE.\)
Xét tam giác \(EAC\) và tam giác \(BAF\) ta có:
\(AE = AB\) (do tam giác \(ABE\) đều)
\(AC = AF\)(do tam giác \(ACF\) đều)
\(\angle EAC = \angle BAF\,\,\,\left( { = {{60}^0} + \angle BAC} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta EAC = \Delta BAF\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle AEG = \angle ABG,\,\,\angle ACD = \angle AFG\) (các góc tương ứng).
\( \Rightarrow AGBE,\,\,AGCF\) là các tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AGB = {180^0} - \angle AEB = {120^0}\\\,\,\,\,\,\,\angle AGC = {180^0} - \angle AFC = {120^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle AGB = \angle AGC = {120^0}\) \( \Rightarrow \angle BGC = {360^0} - {240^0} = {120^0}\)
Mà \(\angle BDC = {60^0}\) (do tam giác \(BCD\) đều) \( \Rightarrow \angle BGC + \angle BDC = {180^0}\) \( \Rightarrow GBDC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) \( \Rightarrow \angle DGC = \angle DBC = {60^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\)).
\( \Rightarrow \widehat {AGC} + \widehat {DGC} = {120^0} + {60^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow A,\,\,G,\,\,D\) thẳng hàng.
Vậy \(AD,\,\,BF,\,\,CE\) đồng quy tại \(G\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
