Cho \(M\) là điểm trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ \(MH \bot AB\)

Câu hỏi số 402534:

Vận dụng

Cho \(M\) là điểm trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ \(MH \bot AB\) tại \(H.\) Đường tròn \(O'\) đường kính \(MH\) cắt \(MA,\,\,MB\) lần lượt tại \(E,\,\,F\) và cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C.\) Chứng minh rằng \(AB,\,\,EF,\,\,CM\) đồng quy.

Xem lời giải

Câu hỏi:402534

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(CM,\) gọi \(F'\) là giao điểm của \(IE\) và \(\left( {O'} \right)\).

Xét tam giác \(IBC\) và tam giác \(IMA\) có:

\(\angle AIM\) chung;

\(\angle IBC = \angle IMA\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(ABCM\))

\( \Rightarrow \Delta IBC \sim \Delta IMA\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IM}} = \dfrac{{IC}}{{IA}} \Rightarrow IA.IB = IC.IM\).

Chứng minh tương tự ta có \(IA.IB = IC.IM = IE.IF'\).

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(MHA,\,\,MHB\) ta có

\(ME.MA = M{H^2} = MF.MB\)

Mà tứ giác \(AEF'B\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow ME.MA = MF'.MB \Rightarrow F \equiv F'\).

Vậy \(AB,EF,CM\) đồng quy.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.