Cho tam giác \(ABC\) đều nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) \(D\) là một điểm thuộc cung

Câu hỏi số 402592:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) đều nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) \(D\) là một điểm thuộc cung nhỏ \(AC\) sao cho \(cung AD < cung CD.\) Tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) cắt đường thẳng \(DA\) tại \(M,\) đường thẳng \(BA\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(N\).

a) Chứng minh \(\angle ADN = \angle ABC\) suy ra số đo góc \(ADN.\)

b) Chứng minh \(\angle ABM = {60^0}\) và tứ giác \(BMND\) nội tiếp.

c) Gọi \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,\) cho \(DA + DC = DB.\) Chứng minh: \(\frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{DA}} + \frac{1}{{DC}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402592

Phương pháp giải

a) Áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp thì tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}.\)

\( \Rightarrow \angle ADN = \angle ABC = {60^0}\) (cùng bù với góc \(\angle ADC\))

b) Chứng minh \(\angle ABM = \angle OBM - \angle OBA = {90^0} - \frac{{\angle ABC}}{2} = {60^0}.\)

+) Tứ giác \(BMND\) nội tiếp do có \(\angle NBM = \angle NDM = {60^0}\)

c) Chứng minh được \(DA.DC = DB.DE\) thông qua \(\Delta ADB \sim \Delta EDC\,\,\,\left( {g - g} \right).\) Sau đó từ dữ kiện bài cho và biểu thức vừa chứng minh, biến đổi để \(\frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{DA}} + \frac{1}{{DC}}.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\angle ADN = \angle ABC\) suy ra số đo góc \(ADN\)

Ta có: tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle ABC + \angle ADC = {180^0}\)

Mà \(\angle ADN + \angle ADC = \angle NDC = {180^0}\)(hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \angle ADN = \angle ABC = {60^0}\)(cùng bù với góc \(\angle ADC\))

Vậy \(\angle ADN = \angle ABC\) và \(\angle ADN = {60^0}.\)

b) Chứng minh \(\angle ABM = {60^0}\) và tứ giác \(BMND\) nội tiếp.

+) Ta có: \(\Delta ABC\) đều nên tâm \(O\) chính là giao điểm của ba đường phân giác trong của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \angle ABO = \frac{{\angle ABC}}{2} = {30^0}\)

Lại có: \(BM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\angle OBM = {90^0}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABM + \angle ABO = {90^0}\\ \Rightarrow \angle ABM = {90^0} - {30^0} = {60^0}\end{array}\)

+) Xét tứ giác \(BMND\) có: \(\angle NBM = \angle NDM = {60^0}\)

Mà hai góc này là hai góc có đỉnh kề cạnh \(BD,\) cùng nhìn cạnh đối diện \(MN\)

\( \Rightarrow BMND\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb).

Vậy \(\angle ABM = {60^0}\) và tứ giác \(BMND\) nội tiếp.

c) Gọi \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,\) cho \(DA + DC = DB.\) Chứng minh: \(\frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{DA}} + \frac{1}{{DC}}.\)

Ta có: \(\angle DBA = \angle DCA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD\))

\( \Rightarrow \angle DBA = \angle DCE.\)

Lại có:\(\Delta ABC\)đều nên \(cungAB = cungBC = cung CA\)

\( \Rightarrow \angle ADB = \angle BDC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle ADB = \angle EDC\)

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta EDC\)có:

\(\begin{array}{l}\angle DBA = \angle DCE\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ADB = \angle EDC\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ADB \sim \Delta EDC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{DA}}{{DE}} = \frac{{DB}}{{DC}}\,\,\,\,\\ \Rightarrow DA.DC = DB.DE.\end{array}\)

Xét \(\frac{1}{{DA}} + \frac{1}{{DC}} = \frac{{DC + DA}}{{DA.DC}} = \frac{{DB}}{{DB.DE}} = \frac{1}{{DE}}\)\(\left( {do:\left\{ \begin{array}{l}DC + DA = DB\\DA.DE = DB.DC\end{array} \right.} \right).\)

Vậy \(\frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{DA}} + \frac{1}{{DC}}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link