Cho tam giác \(ABC\) đều nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) \(D\) là một điểm thuộc cung

Câu hỏi số 402592:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) đều nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) \(D\) là một điểm thuộc cung nhỏ \(AC\) sao cho \(cung AD < cung CD.\) Tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) cắt đường thẳng \(DA\) tại \(M,\) đường thẳng \(BA\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(N\).

a) Chứng minh \(\angle ADN = \angle ABC\) suy ra số đo góc \(ADN.\)

b) Chứng minh \(\angle ABM = {60^0}\) và tứ giác \(BMND\) nội tiếp.

c) Gọi \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,\) cho \(DA + DC = DB.\) Chứng minh: \(\frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{DA}} + \frac{1}{{DC}}.\)

Phương pháp giải

a) Áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp thì tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}.\)

\( \Rightarrow \angle ADN = \angle ABC = {60^0}\) (cùng bù với góc \(\angle ADC\))

b) Chứng minh \(\angle ABM = \angle OBM - \angle OBA = {90^0} - \frac{{\angle ABC}}{2} = {60^0}.\)

+) Tứ giác \(BMND\) nội tiếp do có \(\angle NBM = \angle NDM = {60^0}\)

c) Chứng minh được \(DA.DC = DB.DE\) thông qua \(\Delta ADB \sim \Delta EDC\,\,\,\left( {g - g} \right).\) Sau đó từ dữ kiện bài cho và biểu thức vừa chứng minh, biến đổi để \(\frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{DA}} + \frac{1}{{DC}}.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\angle ADN = \angle ABC\) suy ra số đo góc \(ADN\)

Ta có: tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle ABC + \angle ADC = {180^0}\)

Mà \(\angle ADN + \angle ADC = \angle NDC = {180^0}\)(hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \angle ADN = \angle ABC = {60^0}\)(cùng bù với góc \(\angle ADC\))

Vậy \(\angle ADN = \angle ABC\) và \(\angle ADN = {60^0}.\)

b) Chứng minh \(\angle ABM = {60^0}\) và tứ giác \(BMND\) nội tiếp.

+) Ta có: \(\Delta ABC\) đều nên tâm \(O\) chính là giao điểm của ba đường phân giác trong của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \angle ABO = \frac{{\angle ABC}}{2} = {30^0}\)

Lại có: \(BM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\angle OBM = {90^0}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABM + \angle ABO = {90^0}\\ \Rightarrow \angle ABM = {90^0} - {30^0} = {60^0}\end{array}\)

+) Xét tứ giác \(BMND\) có: \(\angle NBM = \angle NDM = {60^0}\)

Mà hai góc này là hai góc có đỉnh kề cạnh \(BD,\) cùng nhìn cạnh đối diện \(MN\)

\( \Rightarrow BMND\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb).

Vậy \(\angle ABM = {60^0}\) và tứ giác \(BMND\) nội tiếp.

c) Gọi \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,\) cho \(DA + DC = DB.\) Chứng minh: \(\frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{DA}} + \frac{1}{{DC}}.\)

Ta có: \(\angle DBA = \angle DCA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD\))

\( \Rightarrow \angle DBA = \angle DCE.\)

Lại có:\(\Delta ABC\)đều nên \(cungAB = cungBC = cung CA\)

\( \Rightarrow \angle ADB = \angle BDC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle ADB = \angle EDC\)

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta EDC\)có:

\(\begin{array}{l}\angle DBA = \angle DCE\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ADB = \angle EDC\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ADB \sim \Delta EDC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{DA}}{{DE}} = \frac{{DB}}{{DC}}\,\,\,\,\\ \Rightarrow DA.DC = DB.DE.\end{array}\)

Xét \(\frac{1}{{DA}} + \frac{1}{{DC}} = \frac{{DC + DA}}{{DA.DC}} = \frac{{DB}}{{DB.DE}} = \frac{1}{{DE}}\)\(\left( {do:\left\{ \begin{array}{l}DC + DA = DB\\DA.DE = DB.DC\end{array} \right.} \right).\)

Vậy \(\frac{1}{{DE}} = \frac{1}{{DA}} + \frac{1}{{DC}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:402592

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.