Cho tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right),\) tia phân giác của

Câu hỏi số 402885:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right),\) tia phân giác của góc \(BAC\) cắt \(BC\) tại \(D\), cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\), vẽ \(DK\) vuông góc với \(AB\) tại \(K\) và \(DM\) vuông góc với \(AC\) tại \(M.\)

a) Chứng minh tứ giác \(AKDM\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(AD.AE = AB.AC.\)

c) Chứng minh \(MK = AD.sin\angle BAC.\)

d) Tính tỉ số diện tích tam giác \(ABC\) và diện tích tứ giác \(AKEM.\)

Phương pháp giải

a) Tứ giác nội tiếp khi tổng hai góc đôi diện có tổng \({180^0}.\)

b) Chứng minh \(\Delta ABD \sim \Delta AEC\left( {g - g} \right)\) rồi suy ra tích cần chứng minh.

c) Chứng minh \(MK = AD.\frac{{KF}}{{AK}} = AD.\sin \angle BAC\)

d) Áp dụng \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.sin\angle BAC\) \( \Rightarrow 2{S_{AKEM}} = AE.MK = AE.AD.sin\angle BAC\)

Biến đổi rồi rút gọn tỉ số \(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AKEM}}}} = 1\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(AKDM\) nội tiếp.

Xét tứ giác \(AKDM\)có: \(\angle AKD + \angle AMD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là 2 góc đối diện.

\( \Rightarrow AKDM\)là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Vậy tứ giác \(AKDM\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(AD.AE = AB.AC.\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEC\) có:

\(\angle BAD = \angle EAC\) (do \(AE\) là phân giác \(\angle BAC\))

\(\angle ABD = \angle AEC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AC}}\,\,\\ \Rightarrow AD.AE = AB.AC\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Vậy \(AD.AE = AB.AC\)

c) Chứng minh \(MK = AD.sin\angle BAC.\)

Vẽ \(KF \bot AC = {\rm{\{ }}F\} \)

Ta có tứ giác \(AKDM\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle AMK = \angle ADK\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AK\))

Xét \(\Delta KFM\) và \(\Delta AKD\)có:

\(\begin{array}{l}\angle AMK = \angle ADK\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle KFM = \angle AKD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta KFM \sim \Delta AKD\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{MK}}{{KF}} = \frac{{AD}}{{AK}}\\ \Rightarrow MK = AD.\frac{{KF}}{{AK}} = AD.\sin \angle BAC\end{array}\)

Vậy \(MK = AD.sin\angle BAC.\)

d) Tính tỉ số diện tích tam giác \(ABC\) và diện tích tứ giác \(AKEM.\)

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.sin\angle BAC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{S_{ABC}} = AB.AC.sin\angle BAC\\ = AD.AE.sin\angle BAC\,\,\,\,\left( {do:AB.AC = AD.AE} \right)\end{array}\)

Lại có: tứ giác \(AKEM\) có:

\(\angle KAD + \angle ADK = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle DAM + \angle AMK = {90^0}\)\( \Rightarrow AE \bot KM\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{S_{AKEM}} = AE.MK = AE.AD.sin\angle BAC\\ \Rightarrow \frac{{2{S_{ABC}}}}{{2{S_{AKEM}}}} = \frac{{AE.AD.sin\angle BAC}}{{AE.AD.sin\angle BAC}} = 1\,\\ \Rightarrow \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AKEM}}}} = 1.\end{array}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:402885

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.