Cho tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right),\) tia phân giác của

Câu hỏi số 402885:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right),\) tia phân giác của góc \(BAC\) cắt \(BC\) tại \(D\), cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\), vẽ \(DK\) vuông góc với \(AB\) tại \(K\) và \(DM\) vuông góc với \(AC\) tại \(M.\)

a) Chứng minh tứ giác \(AKDM\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(AD.AE = AB.AC.\)

c) Chứng minh \(MK = AD.sin\angle BAC.\)

d) Tính tỉ số diện tích tam giác \(ABC\) và diện tích tứ giác \(AKEM.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:402885

Phương pháp giải

a) Tứ giác nội tiếp khi tổng hai góc đôi diện có tổng \({180^0}.\)

b) Chứng minh \(\Delta ABD \sim \Delta AEC\left( {g - g} \right)\) rồi suy ra tích cần chứng minh.

c) Chứng minh \(MK = AD.\frac{{KF}}{{AK}} = AD.\sin \angle BAC\)

d) Áp dụng \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.sin\angle BAC\) \( \Rightarrow 2{S_{AKEM}} = AE.MK = AE.AD.sin\angle BAC\)

Biến đổi rồi rút gọn tỉ số \(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AKEM}}}} = 1\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(AKDM\) nội tiếp.

Xét tứ giác \(AKDM\)có: \(\angle AKD + \angle AMD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là 2 góc đối diện.

\( \Rightarrow AKDM\)là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Vậy tứ giác \(AKDM\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(AD.AE = AB.AC.\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEC\) có:

\(\angle BAD = \angle EAC\) (do \(AE\) là phân giác \(\angle BAC\))

\(\angle ABD = \angle AEC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AC}}\,\,\\ \Rightarrow AD.AE = AB.AC\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Vậy \(AD.AE = AB.AC\)

c) Chứng minh \(MK = AD.sin\angle BAC.\)

Vẽ \(KF \bot AC = {\rm{\{ }}F\} \)

Ta có tứ giác \(AKDM\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle AMK = \angle ADK\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AK\))

Xét \(\Delta KFM\) và \(\Delta AKD\)có:

\(\begin{array}{l}\angle AMK = \angle ADK\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle KFM = \angle AKD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta KFM \sim \Delta AKD\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{MK}}{{KF}} = \frac{{AD}}{{AK}}\\ \Rightarrow MK = AD.\frac{{KF}}{{AK}} = AD.\sin \angle BAC\end{array}\)

Vậy \(MK = AD.sin\angle BAC.\)

d) Tính tỉ số diện tích tam giác \(ABC\) và diện tích tứ giác \(AKEM.\)

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.sin\angle BAC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{S_{ABC}} = AB.AC.sin\angle BAC\\ = AD.AE.sin\angle BAC\,\,\,\,\left( {do:AB.AC = AD.AE} \right)\end{array}\)

Lại có: tứ giác \(AKEM\) có:

\(\angle KAD + \angle ADK = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle DAM + \angle AMK = {90^0}\)\( \Rightarrow AE \bot KM\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{S_{AKEM}} = AE.MK = AE.AD.sin\angle BAC\\ \Rightarrow \frac{{2{S_{ABC}}}}{{2{S_{AKEM}}}} = \frac{{AE.AD.sin\angle BAC}}{{AE.AD.sin\angle BAC}} = 1\,\\ \Rightarrow \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AKEM}}}} = 1.\end{array}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.