Cho tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right),\) tia phân giác của
Cho tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right),\) tia phân giác của góc \(BAC\) cắt \(BC\) tại \(D\), cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\), vẽ \(DK\) vuông góc với \(AB\) tại \(K\) và \(DM\) vuông góc với \(AC\) tại \(M.\)
a) Chứng minh tứ giác \(AKDM\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(AD.AE = AB.AC.\)
c) Chứng minh \(MK = AD.sin\angle BAC.\)
d) Tính tỉ số diện tích tam giác \(ABC\) và diện tích tứ giác \(AKEM.\)
Quảng cáo
a) Tứ giác nội tiếp khi tổng hai góc đôi diện có tổng \({180^0}.\)
b) Chứng minh \(\Delta ABD \sim \Delta AEC\left( {g - g} \right)\) rồi suy ra tích cần chứng minh.
c) Chứng minh \(MK = AD.\frac{{KF}}{{AK}} = AD.\sin \angle BAC\)
d) Áp dụng \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.sin\angle BAC\) \( \Rightarrow 2{S_{AKEM}} = AE.MK = AE.AD.sin\angle BAC\)
Biến đổi rồi rút gọn tỉ số \(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AKEM}}}} = 1\).
a) Chứng minh tứ giác \(AKDM\) nội tiếp.
Xét tứ giác \(AKDM\)có: \(\angle AKD + \angle AMD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là 2 góc đối diện.
\( \Rightarrow AKDM\)là tứ giác nội tiếp (dhnb).
Vậy tứ giác \(AKDM\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(AD.AE = AB.AC.\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEC\) có:
\(\angle BAD = \angle EAC\) (do \(AE\) là phân giác \(\angle BAC\))
\(\angle ABD = \angle AEC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AC}}\,\,\\ \Rightarrow AD.AE = AB.AC\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Vậy \(AD.AE = AB.AC\)
c) Chứng minh \(MK = AD.sin\angle BAC.\)
Vẽ \(KF \bot AC = {\rm{\{ }}F\} \)
Ta có tứ giác \(AKDM\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle AMK = \angle ADK\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AK\))
Xét \(\Delta KFM\) và \(\Delta AKD\)có:
\(\begin{array}{l}\angle AMK = \angle ADK\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle KFM = \angle AKD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta KFM \sim \Delta AKD\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{MK}}{{KF}} = \frac{{AD}}{{AK}}\\ \Rightarrow MK = AD.\frac{{KF}}{{AK}} = AD.\sin \angle BAC\end{array}\)
Vậy \(MK = AD.sin\angle BAC.\)
d) Tính tỉ số diện tích tam giác \(ABC\) và diện tích tứ giác \(AKEM.\)
Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.sin\angle BAC\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{S_{ABC}} = AB.AC.sin\angle BAC\\ = AD.AE.sin\angle BAC\,\,\,\,\left( {do:AB.AC = AD.AE} \right)\end{array}\)
Lại có: tứ giác \(AKEM\) có:
\(\angle KAD + \angle ADK = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle DAM + \angle AMK = {90^0}\)\( \Rightarrow AE \bot KM\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{S_{AKEM}} = AE.MK = AE.AD.sin\angle BAC\\ \Rightarrow \frac{{2{S_{ABC}}}}{{2{S_{AKEM}}}} = \frac{{AE.AD.sin\angle BAC}}{{AE.AD.sin\angle BAC}} = 1\,\\ \Rightarrow \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AKEM}}}} = 1.\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
