Cho hai số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn điều kiện \(a + b \ge 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 402886:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn điều kiện \(a + b \ge 3.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = a + b + \frac{1}{{2a}} + \frac{2}{b}\).

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(\frac{7}{2}\)

D. \(\frac{9}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức cho hai số dương để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = a + b + \frac{1}{{2a}} + \frac{2}{b} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{1}{{2a}} + \frac{b}{2} + \frac{b}{2} + \frac{2}{b}\\ = \frac{{a + b}}{2} + \left( {\frac{a}{2} + \frac{1}{{2a}}} \right) + \left( {\frac{b}{2} + \frac{2}{b}} \right)\end{array}\)

Theo đề bài ta có: \(a + b \ge 3 \Rightarrow \frac{{a + b}}{2} \ge \frac{3}{2}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{2} + \frac{1}{{2a}} \ge 2\sqrt {\frac{a}{2}.\frac{1}{{2a}}} = 1.\\\frac{b}{2} + \frac{2}{b} \ge 2\sqrt {\frac{b}{2}.\frac{2}{b}} = 2.\\ \Rightarrow \frac{{a + b}}{2} + \left( {\frac{a}{2} + \frac{1}{{2a}}} \right) + \left( {\frac{b}{2} + \frac{2}{b}} \right) \ge \frac{3}{2} + 1 + 2\\ \Leftrightarrow M \ge \frac{9}{2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\\frac{a}{2} = \frac{1}{{2a}}\\\frac{b}{2} = \frac{2}{b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right..\)

Vậy \(Min\,\,M = \frac{9}{2}\) khi \(\left( {a;\,\,b} \right) = \left( {1;\,\,2} \right).\)

Xem lời giải

Câu hỏi:402886

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.