Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) và trực tâm \(H.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần

Câu hỏi số 403264:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) và trực tâm \(H.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,AH.\) Chứng minh rằng \(E,\,\,F,\,\,N,\,\,M\) cùng thuộc một đường tròn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403264

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông.

- Chứng minh \(\angle MEN = \angle MFN = {90^0}\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm \(MN.\) Ta có \(ID = IM = IN\) (do tam giác \(MND\) vuông tại \(D\))

\( \Rightarrow \) Tam giác \(IND\) cân tại \(I\). Tương tự, các tam giác \(MBE,\,\,HNE\) cân tại \(M,\,\,N.\)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {MEN} = \widehat {MEH} + \widehat {NEH} = \widehat {HBD} + \widehat {BHD} = {90^0}\)\( \Rightarrow IE = IN\).

Chứng minh tương tự ta được \(IF = IN.\) Vậy \(IE = IF = IM = IN,\) tức là 4 điểm \(E,F,M,N\) cùng thuộc một đường tròn.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link