Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB < AC,\) đường cao \(AH.\) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm E sao cho

Câu hỏi số 403031:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB < AC,\) đường cao \(AH.\) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm E sao cho \(AH = AE.\) Qua \(E\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AC\), cắt \(BC\) tại D.

a) Chứng minh \(\Delta AHD = \Delta AED\)

b) So sánh \(DH\) và \(DC\)

c) Gọi \(DE\) cắt \(AH\) tại \(K.\) Chứng minh \(\Delta DKC\) cân tại \(D\).

d) Gọi \(M\) là trung điểm của \(KC.\) Chứng minh ba điểm \(A,\,D,\,M\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403031

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta AHD\, = \Delta AED\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông).

b) So sánh \(DH\) với \(DE\) rồi so sánh \(DE\) với \(DC\), từ đó kết luận \(DH < DC\).

c) Chứng minh \(DC = DK\) từ đó suy ra \(\Delta DKC\) cân tại \(D.\)

d) Chứng minh \(D\) là trực tâm của tam giác cân \(AKC\), sau đó chứng minh \(AM\) là đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của \(\Delta AKC\). Suy ra \(A,D,M\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AHD\,\& \Delta AED\) có:

\(\begin{array}{l}AH = AE\left( {gt} \right)\\AD\,chung\\\angle H = \angle A = {90^0}\left( {gt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AHD\, = \Delta AED\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông).

b) Vì \(\Delta AHD\, = \Delta AED\,\left( {cmt} \right)\) do đó: \(DH = DE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà trong \(\Delta DEC\) có \(DE < BC\) (cạnh góc vuông bao giờ cũng bé hơn cạnh huyền)

\( \Rightarrow DH < DC\).

c) Gọi \(DE\) cắt \(AH\) tại \(K.\) Chứng minh \(\Delta DKC\) cân tại \(D\).

Xét \(\Delta HAC\) và \(\Delta EAK\) có:

\(\angle H = \angle E = {90^0}\left( {gt} \right)\)

\(\angle A\) chung

\(HA = EA\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta HAC = \Delta EAK\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow CH = KE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà

\(\begin{array}{l}CH = DC + DH\\KE = DK + DE\end{array}\)

Lại có: \(DH = DE\,\,\left( {do\,\Delta AHD = \Delta AED\left( {cmt} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow DC = DK\).

Xét \(\Delta DKC\) có \(DC = DK\left( {cmt} \right)\) do đó: \(\Delta DKC\) cân tại \(D.\)

d) ta thấy \(D\) là giao điểm của \(KE\) và \(HC\)

\( \Rightarrow D\) là trực tâm của \(\Delta AKC\)

Mà \(AK = AC\) (do \(\Delta HAC = \Delta EAK\left( {cmt} \right)\))

\( \Rightarrow \Delta AKC\) cân tại \(A\).

Mặt khác \(M\) là trung điểm của \(KC\)

\( \Rightarrow AM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh \(A.\)

\( \Rightarrow A,D,M\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link