Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC}
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(AA'\).
- Sử dụng các công thức tính nhanh:
+ Đường cao trong tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
+ Diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
- Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'{S_{\Delta ABC}}\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AM \bot BC\) và \(AM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AMA'} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot A'M\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {A'BC} \right) \supset A'M \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'M;AM} \right) = \angle A'MA = {60^0}\).
Ta có \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AA' \bot AM\) \( \Rightarrow \Delta AMA'\) vuông tại \(A\).
\( \Rightarrow AA' = AM.\tan \angle A'MA = a\sqrt 3 .\tan {60^0} = 3a\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'{S_{\Delta ABC}}\) \( = 3a.{a^2}\sqrt 3 = 3{a^3}\sqrt 3 \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
