Cho hàm số\(y = f\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} - 1\,\,\left( C \right)\). Từ điểm \(A\left(

Câu hỏi số 403207:

Vận dụng

Cho hàm số\(y = f\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} - 1\,\,\left( C \right)\). Từ điểm \(A\left( {0; - 1} \right)\) có thể kẻ được tất cả bao nhiêu tiếp tuyến đến đường cong \(\left( C \right)\).

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403207

Phương pháp giải

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

+ Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {0; - 1} \right)\)nên thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình tìm \({x_0}\).

+ Thay ngược lại \({x_0}\) tìm phương trình tiếp tuyến.

Giải chi tiết

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Ta có:\(k = f'\left( {{x_0}} \right) = - x_0^3 + 4{x_0}\)

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) \( \Leftrightarrow y = \left( { - x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - \dfrac{1}{4}x_0^4 + 2x_0^2 - 1\,\,\left( \Delta \right)\)

+ Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {0; - 1} \right)\)nên:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 1 = \left( { - x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( { - {x_0}} \right) - \dfrac{1}{4}x_0^4 + 2x_0^2 - 1\\ \Leftrightarrow x_0^4 - 4x_0^2 - \dfrac{1}{4}x_0^4 + 2x_0^2 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}x_0^4 - 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\\{x_0} = - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

+ Với \({x_0} = 0\) thì \(\left( \Delta \right):\,\,y = - 1\).

+ Với \({x_0} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\) thì \(\left( \Delta \right):\,\,y = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}\left( {x - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right) + \dfrac{{23}}{9}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x - \dfrac{{41}}{9}\).

+ Với \({x_0} = - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\) thì \(\left( \Delta \right):\,\,y = - \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}\left( {x - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right) + \dfrac{{23}}{9}\)\( \Leftrightarrow y = - \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x + \dfrac{{55}}{9}\).

Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn là: \(y = - 1\), \(y = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x - \dfrac{{41}}{9}\), \(y = - \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x + \dfrac{{55}}{9}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.