Qua điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ cát tuyến \(ABC.\) Tiếp tuyến của

Câu hỏi số 403272:

Vận dụng

Qua điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ cát tuyến \(ABC.\) Tiếp tuyến của đường tròn tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(K.\) Qua \(K\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AO,\) cắt \(AO\) ở \(H\) và cắt đường tròn \(\left( O \right)\) ở \(E,F\) (\(E\) nằm giữa \(K\) và \(F\)). Gọi \(M\) là giao điểm của \(OK\) và \(BC.\) Chứng minh rằng \(EMOF\) là tứ giác nội tiếp.

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tam giác đồng dạng, dấu hiệu của tứ giác nội tiếp.

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta OCK\) vuông tại \(C,\,\,CM \bot OK \Rightarrow K{C^2} = KM.KO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Xét \(\Delta CKE\) và \(\Delta FKC\) có:

\(\angle CKF\) chung;

\(\angle KCE = \angle KFC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(CE\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta CKE \sim \Delta FKC\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{KC}}{{KF}} = \dfrac{{KE}}{{KC}}\\ \Rightarrow K{C^2} = KE.KF\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow KM.KO = KE.KF\\ \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{KE}} = \dfrac{{KF}}{{KO}}\end{array}\)

Xét \(\Delta KEM\) và \(\Delta KOF\) có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{KM}}{{KE}} = \dfrac{{KF}}{{KO}}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle MKE\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta KEM \sim \Delta KOF\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle EMK = \angle OFK\) (hai góc tương ứng).

Vậy \(EMOF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau).

Xem lời giải

Câu hỏi:403272

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.