Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\). Kẻ ra phía ngoài tam giác \(ABC\) các tia \(Ax,\,\,Ay\) theo

Câu hỏi số 403273:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\). Kẻ ra phía ngoài tam giác \(ABC\) các tia \(Ax,\,\,Ay\) theo thứ tự tạo với \(AB,\,\,AC\) các góc nhọn bằng nhau. Gọi \(I\) là hình chiếu của \(B\) trên \(Ax,\,\,K\) là hình chiếu của \(C\) trên \(Ay,\,\,M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng:

a) \(MI = MK\).

b) Bốn điểm \(I,\,\,H,\,\,M,\,\,K\) cùng thuộc một đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi:403273

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta IEM = \Delta MFK\,\,\left( {c.g.c} \right)\).

b) Chứng minh \(\angle IHK = \angle IMK\).

Giải chi tiết

a) Đặt \(\angle BAI = \angle CAK = \alpha .\)

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,AC.\) Ta có:

\(IE = \dfrac{{AB}}{2}\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

\(MF = \dfrac{{AB}}{2}\) (\(MF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\))

\( \Rightarrow IE = MF\).

Chứng minh tương tự ta có: \(EM = \dfrac{{AC}}{2} = FK.\)

Ta có: \(\angle {E_1} = 2\alpha \) (góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

\(\angle {E_2} = \angle {M_2}\) (so le trong do \(AB\parallel MF\))

\( \Rightarrow \angle IEM = \angle {E_1} + \angle {E_2} = 2\alpha + \angle {M_2}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\angle MFK = 2\alpha + \angle {M_2}\).

\( \Rightarrow \angle IEM = \angle MFK\)

\( \Rightarrow \Delta IEM = \Delta MFK\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow MI = MK\) (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có: Tứ giác \(AHBI\) có \(\angle AHB + \angle AIB = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle BHI = \angle BAI = \alpha \) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BI\)).

Chứng minh tương tự ta có: \(\angle CHK = \angle CAK = \alpha \).

\( \Rightarrow \angle IHK = {180^0} - 2\alpha \)

Xét \(\Delta IEM\) có \(\widehat {{E_1}} = 2\alpha \Rightarrow {180^0} - 2\alpha = \widehat {{E_2}} + \widehat {{M_1}} + \widehat {{I_1}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{M_2}}\) (so le trong, \(AB//MF\)), \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{M_3}}\) (do \(\Delta IEM = \Delta MFK\))

\( \Rightarrow {180^0} - 2\alpha = \widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} + \widehat {{M_3}} = \widehat {IMK}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {IHK} = \widehat {IMK}.\) Vậy \(I,H,M,K\) cùng thuộc một đường tròn.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.