Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\). Kẻ ra phía ngoài tam giác \(ABC\) các tia \(Ax,\,\,Ay\) theo

Câu hỏi số 403273:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\). Kẻ ra phía ngoài tam giác \(ABC\) các tia \(Ax,\,\,Ay\) theo thứ tự tạo với \(AB,\,\,AC\) các góc nhọn bằng nhau. Gọi \(I\) là hình chiếu của \(B\) trên \(Ax,\,\,K\) là hình chiếu của \(C\) trên \(Ay,\,\,M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng:

a) \(MI = MK\).

b) Bốn điểm \(I,\,\,H,\,\,M,\,\,K\) cùng thuộc một đường tròn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403273

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta IEM = \Delta MFK\,\,\left( {c.g.c} \right)\).

b) Chứng minh \(\angle IHK = \angle IMK\).

Giải chi tiết

a) Đặt \(\angle BAI = \angle CAK = \alpha .\)

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,AC.\) Ta có:

\(IE = \dfrac{{AB}}{2}\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

\(MF = \dfrac{{AB}}{2}\) (\(MF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\))

\( \Rightarrow IE = MF\).

Chứng minh tương tự ta có: \(EM = \dfrac{{AC}}{2} = FK.\)

Ta có: \(\angle {E_1} = 2\alpha \) (góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

\(\angle {E_2} = \angle {M_2}\) (so le trong do \(AB\parallel MF\))

\( \Rightarrow \angle IEM = \angle {E_1} + \angle {E_2} = 2\alpha + \angle {M_2}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\angle MFK = 2\alpha + \angle {M_2}\).

\( \Rightarrow \angle IEM = \angle MFK\)

\( \Rightarrow \Delta IEM = \Delta MFK\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow MI = MK\) (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có: Tứ giác \(AHBI\) có \(\angle AHB + \angle AIB = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle BHI = \angle BAI = \alpha \) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BI\)).

Chứng minh tương tự ta có: \(\angle CHK = \angle CAK = \alpha \).

\( \Rightarrow \angle IHK = {180^0} - 2\alpha \)

Xét \(\Delta IEM\) có \(\widehat {{E_1}} = 2\alpha \Rightarrow {180^0} - 2\alpha = \widehat {{E_2}} + \widehat {{M_1}} + \widehat {{I_1}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{M_2}}\) (so le trong, \(AB//MF\)), \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{M_3}}\) (do \(\Delta IEM = \Delta MFK\))

\( \Rightarrow {180^0} - 2\alpha = \widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} + \widehat {{M_3}} = \widehat {IMK}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {IHK} = \widehat {IMK}.\) Vậy \(I,H,M,K\) cùng thuộc một đường tròn.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link