Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) và lấy trên tiếp

Câu hỏi số 403282:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm \(P\) sao cho \(AP > R,\) từ \(P\) kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với \(\left( {O;R} \right)\) tại \(M\).

a) Chứng minh tứ giác \(APMO\) nội tiếp một đường tròn.

b) Chứng minh \(BM\,{\rm{//}}\,OP.\)

c) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) ở \(O\) cắt tia \(BM\) tại \(N.\) Chứng minh tứ giác \(OBNP\) là hình bình hành.

d) Biết \(AN\) cắt \(OP\) tại \(K,\,\,PM\) cắt \(ON\) tại \(I;\,\,PN\) và \(OM\) kéo dài cắt nhau tại \(J.\) Chứng minh ba điểm \(I,\,\,J,\,\,K\) thẳng hàng.

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết.

b) Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc với \(AM.\)

c) Chứng minh \(OP = BN,OP{\rm{ // }}BN.\)

d) Chứng minh \(I\) là trực tâm của \(\Delta OPJ\) và \(JK\) là một đường cao của\(\Delta OPJ.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(APMO\) nội tiếp một đường tròn.

Ta có: \(P \in Ax\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow \angle PAO = {90^0}\)

Lại có: \(PM\) cũng là tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow OM \bot PM \Rightarrow \angle OMP = {90^0}\)

Xét tứ giác \(APMO\) ta có: \(\angle OMP + \angle PAO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow APMO\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Chứng minh \(BM\,{\rm{//}}\,OP.\)

Ta có \(PA,\,\,PM\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(P\)\( \Rightarrow PA = PM\)

\( \Rightarrow P\) thuộc đường trung trực của \(AM\) (1)

Lại có: \(OA = OM\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(AM\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(PO\) là đường trung trực của \(AM.\)

\( \Rightarrow PO \bot AM.\)

Lại có: \(\angle AMB\) là góc nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle AMB = {90^0}\) hay \(AM \bot BM.\)

\( \Rightarrow OP//BM\) (cùng \( \bot AM\)).

c) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) ở \(O\) cắt tia \(BM\) tại \(N.\) Chứng minh tứ giác \(OBNP\) là hình bình hành.

Ta có: \(OP//BM\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow \angle AOP = \angle OBN\) (hai góc đồng vị).

Xét \(\Delta APO\) và \(\Delta ONB\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle PAO = \angle NOB\, = {90^0}\\OA = OB = R\\\angle AOP = \angle OBN\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta PAO = \Delta NOB\,\,\,\left( {ch - gn} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow OP = NB\) (hai cạnh tương ứng bằng nhau).

Xét tứ giác \(OBNP\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP//BN\,\,\,\left( {cmt} \right)\\OP = BN\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow OBNP\) là hình bình hành. (dhnb)

d) Biết \(AN\) cắt \(OP\) tại \(K,\,\,PM\) cắt \(ON\) tại \(I;\,\,PN\) và \(OM\) kéo dài cắt nhau tại \(J.\) Chứng minh ba điểm \(I,\,\,J,\,\,K\) thẳng hàng.

Ta có: \(\Delta APO = \Delta ONB\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AP = ON\) (hai cạnh tương ứng).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AP \bot AB\\ON \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AP//ON\)

\( \Rightarrow OAPN\) là hình bình hành. (dhnb)

Mà \(\angle PAO = {90^0} \Rightarrow OAPN\) là hình chữ nhật. (dhnb)

Mặt khác: \(AN \cap OP = \left\{ K \right\}\)\( \Rightarrow K\) là trung điểm của của \(OP.\) (tính chất)

Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(PM\) và \(PA\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(P\)

\( \Rightarrow OP\) là tia phân giác của \(\angle AON\)

Hay \(\angle AOP = \angle POM\)

Mà \(\angle AOP = \angle NPO\) (hai góc so le trong)

\( \Rightarrow \angle MOP = \angle NPO\,\,\,hay\,\,\,\angle MOP = \angle JPO\)

\( \Rightarrow \Delta JPO\) cân tại \(J.\) (định nghĩa)

Mà \(K\) là trung điểm của \(OP\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow JK \bot OP\) hay \(JK\) là đường cao của \(\Delta JPO.\) (*)

Ta có: \(PM \bot OM\,\,\,hay\,\,\,PM \bot OJ\) (\(PM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow PM\) là đường cao của \(\Delta OPJ.\)

Lại có: \(ON \bot PJ\) (\(OAPN\) là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow ON\) là đường cao của \(\Delta OPJ.\)

Mà \(PM \cap ON = \left\{ I \right\}\) \( \Rightarrow I\) là trực tâm \(\Delta OPJ.\) (**)

Từ (*) và (**) \( \Rightarrow I;\,\,J;\,\,K\) thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi:403282

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.