Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho đường tròn (O;R)(O;R) đường kính AB.AB. Kẻ tiếp tuyến AxAx và lấy trên tiếp
Cho đường tròn (O;R)(O;R) đường kính AB.AB. Kẻ tiếp tuyến AxAx và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm PP sao cho AP>R,AP>R, từ PP kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O;R)(O;R) tại MM.
a) Chứng minh tứ giác APMOAPMO nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh BM//OP.BM//OP.
c) Đường thẳng vuông góc với ABAB ở OO cắt tia BMBM tại N.N. Chứng minh tứ giác OBNPOBNP là hình bình hành.
d) Biết ANAN cắt OPOP tại K,PMK,PM cắt ONON tại I;PNI;PN và OMOM kéo dài cắt nhau tại J.J. Chứng minh ba điểm I,J,KI,J,K thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết.
b) Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc với AM.AM.
c) Chứng minh OP=BN,OP//BN.OP=BN,OP//BN.
d) Chứng minh II là trực tâm của ΔOPJΔOPJ và JKJK là một đường cao củaΔOPJ.ΔOPJ.
a) Chứng minh tứ giác APMOAPMO nội tiếp một đường tròn.
Ta có: P∈AxP∈Ax là tiếp tuyến của (O)⇒∠PAO=900(O)⇒∠PAO=900
Lại có: PMPM cũng là tiếp tuyến của (O)⇒OM⊥PM⇒∠OMP=900(O)⇒OM⊥PM⇒∠OMP=900
Xét tứ giác APMOAPMO ta có: ∠OMP+∠PAO=900+900=1800∠OMP+∠PAO=900+900=1800
⇒APMO⇒APMO là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
b) Chứng minh BM//OP.BM//OP.
Ta có PA,PMPA,PM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại PP⇒PA=PM⇒PA=PM
⇒P⇒P thuộc đường trung trực của AMAM (1)
Lại có: OA=OM(=R)⇒OOA=OM(=R)⇒O thuộc đường trung trực của AMAM (2)
Từ (1) và (2) ta có POPO là đường trung trực của AM.AM.
⇒PO⊥AM.⇒PO⊥AM.
Lại có: ∠AMB∠AMB là góc nội tiếp đường tròn (O)⇒∠AMB=900(O)⇒∠AMB=900 hay AM⊥BM.AM⊥BM.
⇒OP//BM⇒OP//BM (cùng ⊥AM⊥AM).
c) Đường thẳng vuông góc với ABAB ở OO cắt tia BMBM tại N.N. Chứng minh tứ giác OBNPOBNP là hình bình hành.
Ta có: OP//BM(cmt)OP//BM(cmt) ⇒∠AOP=∠OBN⇒∠AOP=∠OBN (hai góc đồng vị).
Xét ΔAPOΔAPO và ΔONBΔONB ta có:
∠PAO=∠NOB=900OA=OB=R∠AOP=∠OBN(cmt)⇒ΔPAO=ΔNOB(ch−gn).
⇒OP=NB (hai cạnh tương ứng bằng nhau).
Xét tứ giác OBNP ta có: {OP//BN(cmt)OP=BN(cmt)
⇒OBNP là hình bình hành. (dhnb)
d) Biết AN cắt OP tại K,PM cắt ON tại I;PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh ba điểm I,J,K thẳng hàng.
Ta có: ΔAPO=ΔONB(cmt)⇒AP=ON (hai cạnh tương ứng).
Lại có: {AP⊥ABON⊥AB⇒AP//ON
⇒OAPN là hình bình hành. (dhnb)
Mà ∠PAO=900⇒OAPN là hình chữ nhật. (dhnb)
Mặt khác: AN∩OP={K}⇒K là trung điểm của của OP. (tính chất)
Xét (O) ta có: PM và PA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P
⇒OP là tia phân giác của ∠AON
Hay ∠AOP=∠POM
Mà ∠AOP=∠NPO (hai góc so le trong)
⇒∠MOP=∠NPOhay∠MOP=∠JPO
⇒ΔJPO cân tại J. (định nghĩa)
Mà K là trung điểm của OP(cmt)
⇒JK⊥OP hay JK là đường cao của ΔJPO. (*)
Ta có: PM⊥OMhayPM⊥OJ (PM là tiếp tuyến của (O))
⇒PM là đường cao của ΔOPJ.
Lại có: ON⊥PJ (OAPN là hình chữ nhật)
⇒ON là đường cao của ΔOPJ.
Mà PM∩ON={I} ⇒I là trực tâm ΔOPJ. (**)
Từ (*) và (**) ⇒I;J;K thẳng hàng.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
