Cho hai số dương \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \(x + y \le 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 403283:

Vận dụng cao

Cho hai số dương \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \(x + y \le 1.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy.\)

A. \(9\)

B. \(10\)

C. \(11\)

D. \(12\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:403283

Phương pháp giải

Chọn điểm rơi và sử dụng hệ quả của bất đẳng thức AM-GM.

Giải chi tiết

Trước tiên, theo bất đẳng thức AM-GM:

Với \(a,b > 0:\) \(\left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }}\end{array} \right.,\) nhân theo vế hai bất đẳng thức này ta được:

\(\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy\)\( = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {\frac{1}{{4xy}} + 4xy} \right) + \frac{5}{{4xy}}.\)

Sử dụng hệ quả (*) ta có: \(\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 4\) (do \(x + y \le 1\) )

Lại có : \(\frac{1}{{4xy}} + 4xy \ge 2\sqrt {\frac{1}{{4xy}}.4xy} = 2.\)

Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 4xy \le {\left( {x + y} \right)^2} \le 1 \Rightarrow \frac{5}{{4xy}} \ge 5.\)

Suy ra \(A \ge 4 + 2 + 5 = 11.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\xy = \frac{1}{4}\\x + y \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(11\) khi \(x = y = \frac{1}{2}.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.