Cho hai số dương \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \(x + y \le 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 403283:

Vận dụng cao

Cho hai số dương \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \(x + y \le 1.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy.\)

A. \(9\)

B. \(10\)

C. \(11\)

D. \(12\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403283

Phương pháp giải

Chọn điểm rơi và sử dụng hệ quả của bất đẳng thức AM-GM.

Giải chi tiết

Trước tiên, theo bất đẳng thức AM-GM:

Với \(a,b > 0:\) \(\left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }}\end{array} \right.,\) nhân theo vế hai bất đẳng thức này ta được:

\(\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy\)\( = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {\frac{1}{{4xy}} + 4xy} \right) + \frac{5}{{4xy}}.\)

Sử dụng hệ quả (*) ta có: \(\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 4\) (do \(x + y \le 1\) )

Lại có : \(\frac{1}{{4xy}} + 4xy \ge 2\sqrt {\frac{1}{{4xy}}.4xy} = 2.\)

Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 4xy \le {\left( {x + y} \right)^2} \le 1 \Rightarrow \frac{5}{{4xy}} \ge 5.\)

Suy ra \(A \ge 4 + 2 + 5 = 11.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\xy = \frac{1}{4}\\x + y \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(11\) khi \(x = y = \frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link