Cho hai số dương \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \(x + y \le 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 403283:

Vận dụng cao

Cho hai số dương \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \(x + y \le 1.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy.\)

A. \(9\)

B. \(10\)

C. \(11\)

D. \(12\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403283

Phương pháp giải

Chọn điểm rơi và sử dụng hệ quả của bất đẳng thức AM-GM.

Giải chi tiết

Trước tiên, theo bất đẳng thức AM-GM:

Với \(a,b > 0:\) \(\left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }}\end{array} \right.,\) nhân theo vế hai bất đẳng thức này ta được:

\(\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy\)\( = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {\frac{1}{{4xy}} + 4xy} \right) + \frac{5}{{4xy}}.\)

Sử dụng hệ quả (*) ta có: \(\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 4\) (do \(x + y \le 1\) )

Lại có : \(\frac{1}{{4xy}} + 4xy \ge 2\sqrt {\frac{1}{{4xy}}.4xy} = 2.\)

Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 4xy \le {\left( {x + y} \right)^2} \le 1 \Rightarrow \frac{5}{{4xy}} \ge 5.\)

Suy ra \(A \ge 4 + 2 + 5 = 11.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\xy = \frac{1}{4}\\x + y \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(11\) khi \(x = y = \frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link