Cho hàm số \(f\left( x \right)\)thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left(

Câu hỏi số 403335:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \({f^2}\left( 1 \right)\) bằng:

A. \(8\)

B. \(\dfrac{5}{2}\)

C. \(10\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403335

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\).

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]' = f''\left( x \right).f\left( x \right) + f'\left( x \right).f'\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\end{array}\)

Do đó: \(\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]' = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\int {\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'dx} = \int {\left( {15{x^4} + 12x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\end{array}\)

Thay \(x = 0\) ta có: \(f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow C = 1\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + 1\)

Tiếp tục lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\int {f'\left( x \right)f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \dfrac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + C'\end{array}\)

Thay \(x = 0\) ta có: \(\dfrac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{2} = C' \Leftrightarrow C' = \dfrac{1}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \dfrac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 1\end{array}\)

Vậy \({f^2}\left( 1 \right) = 1 + 4 + 2 + 1 = 8\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.