Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O

Câu hỏi số 403525:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right),\) các đường cao \(AD,\,\,BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H.\)

a) Chứng minh: Các tứ giác \(BCEF\) và \(CDHE\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: \(EH\) là tia phân giác của góc \(DEF\) và \(EB.EH = ED.EF.\)

c) Từ \(D\) kẻ một đường thẳng song song với \(EF\) cắt các đường thẳng \(AB\) và \(CF\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Chứng minh: \(D\) là trung điểm của \(MN.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:403525

Phương pháp giải

a) Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp cơ bản.

b) Chứng minh các tứ giác \(AEHF,\,\,CDFA\) là các tứ giác nội tiếp.

Kết hợp với hai tứ giác nội tiếp đã chứng minh ở ý a) để suy ra các góc nội tiếp tương ứng bằng nhau.

Từ đó suy ra \(\angle FEH = \angle HED.\)

Chứng minh \(\Delta HEF \sim \Delta DEB\,\,\,\left( {g - g} \right).\) Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

c) Chứng minh \(DM = DN = DF.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh: Các tứ giác \(BCEF\) và \(CDHE\) nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác \(BCEF\) ta có:

\(\angle CEB = \angle BFC = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)\)

Mà hai góc này là hai góc có đỉnh kề cạnh \(EF,\) cùng nhìn đoạn \(BC\)

\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Xét tứ giác \(CDHE\) ta có:

\(\angle HDC + \angle CEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow CDHE\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Chứng minh: \(EH\) là tia phân giác của góc \(DEF\) và \(EB.EH = ED.EF.\)

Ta có: Tứ giác \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \angle DCH = \angle DEH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DH\)) (1)

Xét tứ giác \(AEHF\) ta có:

\(\angle AEH + \angle AFH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow CDHE\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

\( \Rightarrow \angle FAH = \angle FEH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FH\)) (2)

Xét tứ giác \(CDFA\) ta có:

\(\angle CFA = \angle ADC = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)\)

Mà hai góc này là hai góc có đỉnh kề cạnh \(DF,\) cùng nhìn đoạn \(AC\)

\( \Rightarrow CDFA\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle DCF = \angle AFD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DF\)) (3)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \angle FAD = \angle FEH = \angle HED = \angle HCD\)

\( \Rightarrow HE\) là phân giác của \(\angle DEF.\) (đpcm)

Xét \(\Delta HEF\) và \(\Delta DEB\) ta có:

\(\angle FEH = \angle BED\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\angle EFH = \angle EBD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta HEF \sim \Delta DEB\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{HE}}{{EF}} = \frac{{DE}}{{BE}} \Rightarrow EB.HE = DE.EF\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Từ \(D\) kẻ một đường thẳng song song với \(EF\) cắt các đường thẳng \(AB\) và \(CF\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Chứng minh: \(D\) là trung điểm của \(MN.\)

Chứng minh tương tự câu b), ta chứng minh được \(HF\) là phân giác của \(\angle EFD.\)

\( \Rightarrow \angle EFH = \angle DFH.\)

Lại có: \(\angle EFH = \angle FND\) (hai góc so le trong)

\( \Rightarrow \angle DFN = \angle FND\,\,\left( { = \angle EFH} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta FDE\) là tam giác cân tại \(D\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow DF = DN\) (tính chất).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle NFE = \angle FND\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle NFD + \angle DFM = {90^0}\\\angle FND + \angle FMN = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle DFM = \angle FMD\)

\( \Rightarrow \Delta FDM\) là tam giác cân tại \(D \Rightarrow DF = DM\) (tính chất).

\( \Rightarrow DM = DN\,\,\,\left( { = DF} \right)\) \( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(MN.\) (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.