Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O

Câu hỏi số 403525:
Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn (O), các đường cao AD,BE và CF  của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: Các tứ giác BCEF và CDHE  nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: EH  là tia phân giác của góc DEF và EB.EH=ED.EF.

c) Từ D kẻ một đường thẳng song song với EF cắt các đường thẳng AB và CF lần lượt tại M và N.  Chứng minh: D  là trung điểm của MN.

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:403525
Phương pháp giải

a) Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp cơ bản.

b) Chứng minh các tứ giác AEHF,CDFA là các tứ giác nội tiếp.

Kết hợp với hai tứ giác nội tiếp đã chứng minh ở ý a) để suy ra các góc nội tiếp tương ứng bằng nhau.

Từ đó suy ra ∠FEH=∠HED.

Chứng minh ΔHEF∼ΔDEB(g−g). Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

c) Chứng minh DM=DN=DF.

Giải chi tiết

a) Chứng minh: Các tứ giác BCEF và CDHE  nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác BCEF ta có:

∠CEB=∠BFC=900(gt)

Mà hai góc này là hai góc có đỉnh kề cạnh EF, cùng nhìn đoạn BC

⇒BCEF là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Xét tứ giác CDHE ta có:

∠HDC+∠CEH=900+900=1800

Mà hai góc này là hai góc đối diện

⇒CDHE là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Chứng minh: EH  là tia phân giác của góc DEF và EB.EH=ED.EF.

Ta có: Tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp (cmt)

⇒∠DCH=∠DEH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DH)    (1)

Xét tứ giác AEHF ta có:

∠AEH+∠AFH=900+900=1800

Mà hai góc này là hai góc đối diện

⇒CDHE là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

⇒∠FAH=∠FEH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FH)     (2)

Xét tứ giác CDFA ta có:

∠CFA=∠ADC=900(gt)

Mà hai góc này là hai góc có đỉnh kề cạnh DF, cùng nhìn đoạn AC

⇒CDFA là tứ giác nội tiếp (dhnb).

⇒∠DCF=∠AFD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DF)     (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒∠FAD=∠FEH=∠HED=∠HCD

⇒HE là phân giác của ∠DEF. (đpcm)

Xét ΔHEF và ΔDEB ta có:

∠FEH=∠BED(cmt)

∠EFH=∠EBD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

⇒ΔHEF∼ΔDEB(g−g)⇒HEEF=DEBE⇒EB.HE=DE.EF(dpcm).

c) Từ D kẻ một đường thẳng song song với EF cắt các đường thẳng AB và CF lần lượt tại M và N.  Chứng minh: D  là trung điểm của MN.

Chứng minh tương tự câu b), ta chứng minh được HF là phân giác của ∠EFD.

⇒∠EFH=∠DFH.

Lại có: ∠EFH=∠FND (hai góc so le trong)

⇒∠DFN=∠FND(=∠EFH)

⇒ΔFDE là tam giác cân tại D (định nghĩa)

⇒DF=DN (tính chất).

Ta có: {∠NFE=∠FND(cmt)∠NFD+∠DFM=900∠FND+∠FMN=900⇒∠DFM=∠FMD

⇒ΔFDM là tam giác cân tại D⇒DF=DM (tính chất).

⇒DM=DN(=DF) ⇒D là trung điểm của MN. (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn
@!-/#Chào mỪng1
@!-/#Chào mỪng1