Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} = {x^2} + y\\y +

Câu hỏi số 403746:

Vận dụng

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} = {x^2} + y\\y + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}}}} = {y^2} + x\end{array} \right..$

$\left( {x,y} \right) = \left( {1;1} \right).$

$\left( {x,y} \right) = \left( {3;3} \right).$

$\left( {x,y} \right) = \left( {2;2} \right).$

$\left( {x,y} \right) = \left( {1; - 1} \right).$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403746

Phương pháp giải

Biến đổi hệ phương trình, giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá.

Giải chi tiết

Cộng theo vế hai phương trình ta được:

$\begin{array}{l}x + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} + y + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}}}} = {x^2} + y + {y^2} + x\\ \Leftrightarrow \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}}}} = {x^2} + {y^2}\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Ta có $\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}} = \sqrt[3]{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 27}} \ge 3.$

Tương tự: $\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}} \ge 3.$

+) Nếu $xy < 0$ thì $\frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}}}} < 0;\,$ ${x^2} + {y^2} \ge 0$

$\Rightarrow$ Phương trình $\left( * \right)$ vô nghiệm.

+) Nếu $xy \ge 0$ ta có $\frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}}}} \le \frac{{3xy}}{3} + \frac{{3xy}}{3} = 2xy$ , mà ${x^2} + {y^2} \ge 2xy.$

$\Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}VT = 2xy\\VP = 2xy\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x - 2 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x,y} \right) = \left( {2;2} \right).$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.