Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} = {x^2} + y\\y +

Câu hỏi số 403746:

Vận dụng

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} = {x^2} + y\\y + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}}}} = {y^2} + x\end{array} \right..\)

A. \(\left( {x,y} \right) = \left( {1;1} \right).\)

B. \(\left( {x,y} \right) = \left( {3;3} \right).\)

C. \(\left( {x,y} \right) = \left( {2;2} \right).\)

D. \(\left( {x,y} \right) = \left( {1; - 1} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:403746

Phương pháp giải

Biến đổi hệ phương trình, giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá.

Giải chi tiết

Cộng theo vế hai phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}x + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} + y + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}}}} = {x^2} + y + {y^2} + x\\ \Leftrightarrow \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}}}} = {x^2} + {y^2}\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có \(\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}} = \sqrt[3]{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 27}} \ge 3.\)

Tương tự: \(\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}} \ge 3.\)

+) Nếu \(xy < 0\) thì \(\frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}}}} < 0;\,\) \({x^2} + {y^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm.

+) Nếu \(xy \ge 0\) ta có \(\frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 31}}}} + \frac{{3xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 4y + 31}}}} \le \frac{{3xy}}{3} + \frac{{3xy}}{3} = 2xy\), mà \({x^2} + {y^2} \ge 2xy.\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}VT = 2xy\\VP = 2xy\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x - 2 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x,y} \right) = \left( {2;2} \right).\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.