Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx = - \dfrac{a}{b} +

Câu hỏi số 404296:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx = - \dfrac{a}{b} + \dfrac{\pi }{c}} \) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}\), phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Tính \(T = a + b + c.\)

A. \(T = 156.\)

B. \(T = 62.\)

C. \(T = 159.\)

D. \(T = 167.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404296

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ t = tanx.

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính tổng T = a + b + c.

Giải chi tiết

Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx} \)

Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = \left( {1 + {t^2}} \right)dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{t^2} + 2{t^8}} \right)\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {2{t^6} - 2{t^4} + 2{t^2} - 1 + \dfrac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \\ \Rightarrow I = \left. {\left( {\dfrac{{2{t^7}}}{7} - \dfrac{{2{t^5}}}{5} + \dfrac{{2{t^3}}}{3} - t} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \\ \Rightarrow I = - \dfrac{{47}}{{105}} + {I_1}\end{array}\)

Đặt \(t = \tan u \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = 1 \Rightarrow u = \dfrac{\pi }{4}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du}}{{1 + {{\tan }^2}u}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du} = \dfrac{\pi }{4}\).

\( \Rightarrow I = - \dfrac{{47}}{{105}} + \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow a = 47,\,\,b = 105,\,\,c = 4\).

Vậy \(T = a + b + c = 47 + 105 + 4 = 156.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.