Cho hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 6xy\left( {x + y - 2} \right) = {\left( {x

Câu hỏi số 406190:

Vận dụng

Cho hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 6xy\left( {x + y - 2} \right) = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1} \right)\).

A. \(2\)

B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{5}{2}\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406190

Phương pháp giải

Đặt \(S = x + y,P = xy,S > 0,P > 0.\) Áp dụng định lý Vi-et đảo để làm bài tập.

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\,\,\,\left( {S > 0} \right)\\P = xy\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {P > 0} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow T = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + xy}}{{xy}} + 1} \right) \Leftrightarrow T = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{S^2} - 2P}}{P} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2T = \frac{{{S^2} - 2P}}{P} + 1 \Leftrightarrow \left( {2T - 1} \right)P = {S^2} - 2P\\ \Leftrightarrow \left( {2T + 1} \right)P = {S^2} \Rightarrow P = \frac{{{S^2}}}{{2T + 1}}\end{array}\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 6xy\left( {x + y - 2} \right) = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 2.3xy\left( {x + y} \right) - 12xy = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x + y} \right)^3} - 12xy = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2{S^3} - 12P = {S^2}\left( {P + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2{S^3} - 12.\frac{{{S^2}}}{{2T + 1}} = {S^2}\left( {\frac{{{S^2}}}{{2T + 1}} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2S - \frac{{12}}{{2T + 1}} = \frac{{{S^2}}}{{2T + 1}} + 4\\ \Leftrightarrow {S^2} + 4\left( {2T + 1} \right) - 2\left( {2T + 1} \right)S + 12 = 0\\ \Leftrightarrow {S^2} - 2\left( {2T + 1} \right)S + 8T + 16 = 0 & \left( 1 \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {2T + 1} \right)^2} - 8T - 16 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 4{T^2} - 4T - 15 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}T \ge \frac{5}{2}\\T \le - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow T \ge \frac{5}{2}.\)

Vậy \(\min T = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt 3 \\x = 3 - \sqrt 3 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 \\x = 3 + \sqrt 3 \end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link