Cho hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 6xy\left( {x + y - 2} \right) = {\left( {x

Câu hỏi số 406190:

Vận dụng

Cho hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 6xy\left( {x + y - 2} \right) = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1} \right)\).

A. \(2\)

B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{5}{2}\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406190

Phương pháp giải

Đặt \(S = x + y,P = xy,S > 0,P > 0.\) Áp dụng định lý Vi-et đảo để làm bài tập.

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\,\,\,\left( {S > 0} \right)\\P = xy\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {P > 0} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow T = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + xy}}{{xy}} + 1} \right) \Leftrightarrow T = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{S^2} - 2P}}{P} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2T = \frac{{{S^2} - 2P}}{P} + 1 \Leftrightarrow \left( {2T - 1} \right)P = {S^2} - 2P\\ \Leftrightarrow \left( {2T + 1} \right)P = {S^2} \Rightarrow P = \frac{{{S^2}}}{{2T + 1}}\end{array}\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 6xy\left( {x + y - 2} \right) = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 2.3xy\left( {x + y} \right) - 12xy = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x + y} \right)^3} - 12xy = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2{S^3} - 12P = {S^2}\left( {P + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2{S^3} - 12.\frac{{{S^2}}}{{2T + 1}} = {S^2}\left( {\frac{{{S^2}}}{{2T + 1}} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2S - \frac{{12}}{{2T + 1}} = \frac{{{S^2}}}{{2T + 1}} + 4\\ \Leftrightarrow {S^2} + 4\left( {2T + 1} \right) - 2\left( {2T + 1} \right)S + 12 = 0\\ \Leftrightarrow {S^2} - 2\left( {2T + 1} \right)S + 8T + 16 = 0 & \left( 1 \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {2T + 1} \right)^2} - 8T - 16 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 4{T^2} - 4T - 15 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}T \ge \frac{5}{2}\\T \le - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow T \ge \frac{5}{2}.\)

Vậy \(\min T = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt 3 \\x = 3 - \sqrt 3 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 \\x = 3 + \sqrt 3 \end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link