Cho hai số thực bất kì $a > 1,\,\,b > 1$ . Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ là hai nghiệm của phương

Câu hỏi số 407597:

Vận dụng

Cho hai số thực bất kì $a > 1,\,\,b > 1$ . Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1$ . Trong trường hợp biểu thức $S = {\left( {\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} - 6{x_1} - 6{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, khẳng định nào dưới đây đúng?

$a = {b^{\sqrt[3]{3}}}$

$a = {b^{\sqrt[3]{6}}}$

$a = {b^{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}}}}$

$a = {b^{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{6}}}}}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407597

Phương pháp giải

- Lấy logarit cơ số b hai vế của phương trình ${a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1$ , đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x.

- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm phân biệt.

- Áp dụng định lí Vi-ét: ${x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}$ , ${x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}$ .

- Đặt ẩn phụ $t = {\log _b}a$ , chứng minh $t > 0$ .

- Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số a, b, c không âm: $a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$ . Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$ .

Giải chi tiết

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1\\ \Leftrightarrow {\log _b}\left( {{a^x}{b^{{x^2} - 1}}} \right) = {\log _b}1\\ \Leftrightarrow {\log _b}{a^x} + {\log _b}{b^{{x^2} - 1}} = 0\\ \Leftrightarrow x{\log _b}a + {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{{\log }_b}a} \right)x - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt.

$\Rightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_b}a} \right)^2} + 4 > 0$ (luôn đúng).

Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - {\log _b}a\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.$ .

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}S = {\left( {\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} - 6{x_1} - 6{x_2}\\S = {\left( {\dfrac{{ - 1}}{{ - {{\log }_b}a}}} \right)^2} - 6\left( { - {{\log }_b}a} \right)\\S = \dfrac{1}{{\log _b^2a}} + 6{\log _b}a\end{array}$

Đặt $t = {\log _b}a$ , với $a > 1,\,\,b > 1$ thì ${\log _b}a > {\log _b}1 = 0 \Rightarrow t > 0$ , khi đó

$S = \dfrac{1}{{{t^2}}} + 6t = \dfrac{1}{{{t^2}}} + 3t + 3t \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{t^2}}}.3t.3t}} = \sqrt[3]{9}$ .

$\Rightarrow {S_{\min }} = \sqrt[3]{9}$ , dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{t^2}}} = 3t \Leftrightarrow {t^3} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}}$ .

$\Leftrightarrow {\log _b}a = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}} \Leftrightarrow a = {b^{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}}}}.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.