Cho hai số thực bất kì \(a > 1,\,\,b > 1\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương

Câu hỏi số 407597:

Vận dụng

Cho hai số thực bất kì \(a > 1,\,\,b > 1\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1\). Trong trường hợp biểu thức \(S = {\left( {\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} - 6{x_1} - 6{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \(a = {b^{\sqrt[3]{3}}}\)

B. \(a = {b^{\sqrt[3]{6}}}\)

C. \(a = {b^{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}}}}\)

D. \(a = {b^{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{6}}}}}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:407597

Phương pháp giải

- Lấy logarit cơ số b hai vế của phương trình \({a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x.

- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm phân biệt.

- Áp dụng định lí Vi-ét: \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\), \({x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\).

- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _b}a\), chứng minh \(t > 0\).

- Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số a, b, c không âm: \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1\\ \Leftrightarrow {\log _b}\left( {{a^x}{b^{{x^2} - 1}}} \right) = {\log _b}1\\ \Leftrightarrow {\log _b}{a^x} + {\log _b}{b^{{x^2} - 1}} = 0\\ \Leftrightarrow x{\log _b}a + {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{{\log }_b}a} \right)x - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_b}a} \right)^2} + 4 > 0\) (luôn đúng).

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - {\log _b}a\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = {\left( {\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} - 6{x_1} - 6{x_2}\\S = {\left( {\dfrac{{ - 1}}{{ - {{\log }_b}a}}} \right)^2} - 6\left( { - {{\log }_b}a} \right)\\S = \dfrac{1}{{\log _b^2a}} + 6{\log _b}a\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _b}a\), với \(a > 1,\,\,b > 1\) thì \({\log _b}a > {\log _b}1 = 0 \Rightarrow t > 0\), khi đó

\(S = \dfrac{1}{{{t^2}}} + 6t = \dfrac{1}{{{t^2}}} + 3t + 3t \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{t^2}}}.3t.3t}} = \sqrt[3]{9}\).

\( \Rightarrow {S_{\min }} = \sqrt[3]{9}\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{t^2}}} = 3t \Leftrightarrow {t^3} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}}\).

\( \Leftrightarrow {\log _b}a = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}} \Leftrightarrow a = {b^{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}}}}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.