Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ , $AB = \sqrt 3$ , $AC = 2$ và $\angle BAC = {30^0}$ .

Câu hỏi số 407602:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ , $AB = \sqrt 3$ , $AC = 2$ và $\angle BAC = {30^0}$ . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM là:

$R = 2$

$R = \sqrt {13}$

$R = 1$

$R = \sqrt 2$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407602

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí Cô-sin trong tam giác tính độ dài cạnh BC, từ đó sử dụng định lí Pytago đảo chứng minh $\Delta ABC$ vuông tại B.

- Gọi I là trung điểm AC, chứng minh IA = IB = IC = IM = IN và suy ra bán kính mặt cầu.

Giải chi tiết

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC\\B{C^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} - 2.\sqrt 3 .2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 1\\ \Rightarrow BC = 1\\ \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B (Định lí Pytago đảo).

Gọi I là trung điểm của AC $\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó có IA = IB = IC (1).

Gọi H là trung điểm của AB ta có: $IH \bot AB$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IH \bot AB\\IH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow IH \bot \left( {ABM} \right)$ .

Lại có $\Delta ABM$ vuông tại M, có H là trung điểm của cạnh huyền AB nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABM$ $\Rightarrow IH$ là trục của $\left( {ABM} \right)$ $\Rightarrow IA = IB = IM$ (2).

$\Delta ACN$ vuông tại N có I là trung điểm cạnh huyền BC nên IA = IC = IN (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra IA = IB = IC = IM = IN hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCNM, bán kính khối cầu là R = IA $= \dfrac{1}{2}AC = 1$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.