Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết

Câu hỏi số 407611:
Vận dụng cao

Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đôi một tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chi tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng 4343 lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là 337π24337π24 (lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Câu hỏi:407611
Giải chi tiết

Ta có mặt đáy của bể nước hình hộp chữ nhật như sau:

Gọi r là bán kính đáy hình nón, A, B, C lần lượt là 3 tâm đường tròn đáy của hình nón là MNPQ là đáy của bể nước hình hộp chữ nhật.

Ta có: MN=PQ=4rMN=PQ=4r.

Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác ABC đều cạnh 2r nên AH=2r32=r3AH=2r32=r3.

MQ=NP=AH+2r=r3+2r=r(2+3)MQ=NP=AH+2r=r3+2r=r(2+3).

SMNPQ=MN.MQ=4(2+3)r2SMNPQ=MN.MQ=4(2+3)r2.

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là 3 đỉnh của ba hình nón có tâm đường tròn đáy là A, B, C và O’ là tâm tam giác đều A’B’C’. Dễ thấy ΔABC=ΔABCΔABC=ΔABC nên có OB=23.2r32=2r33OB=23.2r32=2r33.

Ta có OB=43rOB=43r (gt), áp dụng định lí Pytago ta có: OO=OB2OB2=16r294r23=2r3OO=OB2OB2=16r294r23=2r3.

Vì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân nên hình nón có chiều cao bằng rr.

Suy ra chiều cao của khối hộp chữ nhật là: h=4r3+2r3+r=3rh=4r3+2r3+r=3r.

Thể tích khối hộp là: V=SMNPQ.h=12(2+3)r3V=SMNPQ.h=12(2+3)r3.

Ta có:

+ Thể tích 3 khối nón là: V1=3.13π.r2.r=πr3V1=3.13π.r2.r=πr3.

+ Thể tích khối cầu là: V2=43.π(43r)3=256πr381.V2=43.π(43r)3=256πr381.

Khi đó thể tích phần nước trào ra là:

V1+V2=337π24πr3+256πr381=337π24337πr381=337π24r3=278r=32

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là: V=12(2+3)r3=324(2+3)151,15(l).

Chọn B.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com