Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết

Câu hỏi số 407611:

Vận dụng cao

Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đôi một tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chi tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng \(\dfrac{4}{3}\) lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là \(\dfrac{{337\pi }}{{24}}\) (lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?

A. \(\left( {150;151} \right)\)

B. \(\left( {151;152} \right)\)

C. \(\left( {139;140} \right)\)

D. \(\left( {138;139} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407611

Giải chi tiết

Ta có mặt đáy của bể nước hình hộp chữ nhật như sau:

Gọi r là bán kính đáy hình nón, A, B, C lần lượt là 3 tâm đường tròn đáy của hình nón là MNPQ là đáy của bể nước hình hộp chữ nhật.

Ta có: \(MN = PQ = 4r\).

Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác ABC đều cạnh 2r nên \(AH = \dfrac{{2r\sqrt 3 }}{2} = r\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow MQ = NP = AH + 2r = r\sqrt 3 + 2r = r\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\).

\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = MN.MQ = 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right){r^2}\).

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là 3 đỉnh của ba hình nón có tâm đường tròn đáy là A, B, C và O’ là tâm tam giác đều A’B’C’. Dễ thấy \(\Delta A'B'C' = \Delta ABC\) nên có \(O'B' = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{2r\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2r\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có \(OB' = \dfrac{4}{3}r\) (gt), áp dụng định lí Pytago ta có: \(OO' = \sqrt {OB{'^2} - O'B{'^2}} = \sqrt {\dfrac{{16{r^2}}}{9} - \dfrac{{4{r^2}}}{3}} = \dfrac{{2r}}{3}\).

Vì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân nên hình nón có chiều cao bằng \(r\).

Suy ra chiều cao của khối hộp chữ nhật là: \(h = \dfrac{{4r}}{3} + \dfrac{{2r}}{3} + r = 3r\).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối hộp là: \(V = {S_{MNPQ}}.h = 12\left( {2 + \sqrt 3 } \right){r^3}\).

Ta có:

+ Thể tích 3 khối nón là: \({V_1} = 3.\dfrac{1}{3}\pi .{r^2}.r = \pi {r^3}\).

+ Thể tích khối cầu là: \({V_2} = \dfrac{4}{3}.\pi {\left( {\dfrac{4}{3}r} \right)^3} = \dfrac{{256\pi {r^3}}}{{81}}.\)

Khi đó thể tích phần nước trào ra là:

\(\begin{array}{l}{V_1} + {V_2} = \dfrac{{337\pi }}{{24}}\\ \Leftrightarrow \pi {r^3} + \dfrac{{256\pi {r^3}}}{{81}} = \dfrac{{337\pi }}{{24}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{337\pi {r^3}}}{{81}} = \dfrac{{337\pi }}{{24}}\\ \Leftrightarrow {r^3} = \dfrac{{27}}{8} \Leftrightarrow r = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là: \(V = 12\left( {2 + \sqrt 3 } \right){r^3} = 324\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \approx 151,15\,\,\left( l \right)\).

Chọn B.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.