Gọi \({m_0}\) là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình \(\left( {m - 1} \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {x - 2} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng (2;4). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 407612: Gọi \({m_0}\) là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình \(\left( {m - 1} \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {x - 2} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng (2;4). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \({m_0} \in \left( { - 1;\dfrac{4}{3}} \right)\)

B. \({m_0} \in \left( {2;\dfrac{{10}}{3}} \right)\)

C. \({m_0} \in \left( {4;\dfrac{{16}}{3}} \right)\)

D. \({m_0} \in \left( { - 5; - \dfrac{5}{2}} \right)\)

Câu hỏi : 407612

Quảng cáo

Đáp án : D
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right)\), với \(x \in \left( {2;4} \right) \Rightarrow x - 2 \in \left( {0;2} \right)\) \( \Rightarrow t > - 1\).

Phương trình đã cho trở thành: \(\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc (2;4) thì phương trình (*) phải có nghiệm \(t > - 1\).

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow m{t^2} - {t^2} - mt + 5t + m - 1 = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {{t^2} - t + 1} \right)m = {t^2} - 5t + 1\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Để phương trình (*) có nghiệm \(t > - 1\) thì phương trình (**) có nghiệm \(t > - 1\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\) \(\left( {t > - 1} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 5} \right)\left( {{t^2} - t + 1} \right) - \left( {{t^2} - 5t + 1} \right).\left( {2t - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^3} - 2{t^2} + 2t - 5{t^2} + 5t - 5 - 2{t^3} + 10{t^2} - 2t + {t^2} - 5t + 1}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} - 4}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1\end{array}\)

Khi đó ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (**) có nghiệm \(t > - 1\) khi và chỉ khi \( - 3 < m < \dfrac{7}{3}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(m\) là \({m_0} \in \left( { - 5; - \dfrac{5}{2}} \right)\).

Chọn D.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.