Gọi ${m_0}$ là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình \(\left( {m - 1}

Câu hỏi số 407612:

Vận dụng cao

Gọi ${m_0}$ là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình $\left( {m - 1} \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {x - 2} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng (2;4). Khẳng định nào dưới đây đúng?

m_{0} \in (- 1; \frac{4}{3})

${m_0} \in \left( { - 1;\dfrac{4}{3}} \right)$

m_{0} \in (2; \frac{10}{3})

${m_0} \in \left( {2;\dfrac{{10}}{3}} \right)$

m_{0} \in (4; \frac{16}{3})

${m_0} \in \left( {4;\dfrac{{16}}{3}} \right)$

m_{0} \in (- 5; - \frac{5}{2})

${m_0} \in \left( { - 5; - \dfrac{5}{2}} \right)$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407612

Giải chi tiết

Đặt $t = {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right)$ , với $x \in \left( {2;4} \right) \Rightarrow x - 2 \in \left( {0;2} \right)$ $\Rightarrow t > - 1$ .

Phương trình đã cho trở thành: $\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0\,\,\left( * \right)$

Để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc (2;4) thì phương trình (*) phải có nghiệm $t > - 1$ .

$\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow m{t^2} - {t^2} - mt + 5t + m - 1 = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {{t^2} - t + 1} \right)m = {t^2} - 5t + 1\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}$

Để phương trình (*) có nghiệm $t > - 1$ thì phương trình (**) có nghiệm $t > - 1$ .

Xét hàm số $f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}$ $\left( {t > - 1} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 5} \right)\left( {{t^2} - t + 1} \right) - \left( {{t^2} - 5t + 1} \right).\left( {2t - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^3} - 2{t^2} + 2t - 5{t^2} + 5t - 5 - 2{t^3} + 10{t^2} - 2t + {t^2} - 5t + 1}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} - 4}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1\end{array}$

Khi đó ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (**) có nghiệm $t > - 1$ khi và chỉ khi $- 3 < m < \dfrac{7}{3}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ là ${m_0} \in \left( { - 5; - \dfrac{5}{2}} \right)$ .

Chọn D.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.