Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn

Câu hỏi số 407865:

Vận dụng

Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).

a) \({\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)^2}\)

b) \(\frac{{{{(c{\rm{os}}\alpha - \sin \alpha )}^2} - {{(c{\rm{os}}\alpha + \sin \alpha )}^2}}}{{c{\rm{os}}\alpha .\sin \alpha }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407865

Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)

Sử dụng hằng đẳng thức.

Giải chi tiết

a) \({\left( {\cos \alpha - {\rm{sin}}\alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha - {\rm{sin}}\alpha } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {\cos \alpha - {\rm{sin}}\alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha + {\rm{sin}}\alpha } \right)^2}\\ = {\cos ^2}\alpha - 2{\rm{sin}}\alpha .\cos \alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2{\rm{sin}}\alpha \cos \alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \\ = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 2{\cos ^2}\alpha = 2\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 2.1 = 2.\end{array}\)

Vậy giá trị của các biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).

b. \(\frac{{{{\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)}^2} - {{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{{\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)}^2} - {{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\\ = \frac{{{{\cos }^2}\alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha + {{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\\ = \frac{{ - 4\sin \alpha \cos \alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = - 4.\end{array}\)

Vậy giá trị của các biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link