Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh AB = 2a, \(\Delta SAB\) là tam giác cân tại S và nằm
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh AB = 2a, \(\Delta SAB\) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và G là trọng tâm \(\Delta SCD\). Biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SND) bằng \(\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\). Thể tích khối chóp G.AMND được tính theo a bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Chứng minh \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\).
- Trong (ABCD) kẻ \(MI \bot ND\,\,\left( {I \in ND} \right)\), trong (SMI) kẻ \(MH \bot SI\). Chứng minh \(MH = d\left( {M;\left( {SND} \right)} \right)\).
- Tính \({S_{MND}}\), từ đó tính MI.
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính SM, từ đó suy ra \(d\left( {G;\left( {ABCD} \right)} \right)\).
- Tính diện tích tứ giác AMND: \({S_{AMND}} = {S_{ABCD}} - {S_{BMN}} - {S_{CND}}\).
- Áp dụng công thức tính thể tích: \({V_{G.AMND}} = \dfrac{1}{3}d\left( {G;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{AMND}}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\).
Trong (ABCD) kẻ \(MI \bot ND\,\,\left( {I \in ND} \right)\), trong (SMI) kẻ \(MH \bot SI\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ND \bot MI\\ND \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow ND \bot \left( {SMI} \right) \Rightarrow ND \bot MH\).
\(\left\{ \begin{array}{l}MH \bot ND\\MH \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow MH \bot \left( {SND} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SND} \right)} \right) = MH = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{BMN}} = \dfrac{1}{2}BM.BN = \dfrac{1}{2}.a.a = \dfrac{{{a^2}}}{2}\\{S_{AMD}} = \dfrac{1}{2}AM.AD = \dfrac{1}{2}.a.2a = {a^2}\\{S_{CND}} = \dfrac{1}{2}CN.CD = \dfrac{1}{2}.a.2a = {a^2}\\{S_{ABCD}} = A{B^2} = 4{a^2}\\ \Rightarrow {S_{MND}} = {S_{ABCD}} - {S_{BMN}} - {S_{AMD}} - {S_{CND}}\\ \Rightarrow {S_{MND}} = 4{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} - {a^2} - {a^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\end{array}\)
Lại có \(ND = \sqrt {C{N^2} + C{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \), \({S_{MND}} = \dfrac{1}{2}MI.ND\).
\( \Rightarrow MI = \dfrac{{2{S_{MND}}}}{{ND}} = \dfrac{{2.\dfrac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SMI có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{M^2}}} + \dfrac{1}{{M{N^2}}}\\\dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{S{M^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{S{M^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} \Rightarrow SM = a\sqrt 3 \end{array}\)
Gọi P là trung điểm của CD, ta có \(SG \cap \left( {ABCD} \right) = P\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {G;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{GP}}{{SP}} = \dfrac{1}{3}\)
\( \Rightarrow d\left( {G;\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
\(\begin{array}{l}{S_{AMND}} = {S_{ABCD}} - {S_{BMN}} - {S_{CND}}\\{S_{AMND}} = 4{a^2} - \dfrac{1}{2}{a^2} - {a^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\end{array}\)
Vậy \({V_{G.AMND}} = \dfrac{1}{3}d\left( {G;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{AMND}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{5{a^2}}}{2} = \dfrac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{{18}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
