Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\) và góc giữa hai đường
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\) và góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) bằng \({60^0}\). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \(N = AB' \cap A'B\) và \(M\) là trung điểm của \(A'C'\).
Ta có: \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(A'C'B\) \( \Rightarrow MN\parallel BC'\) \( \Rightarrow \angle \left( {AB';BC'} \right) = \angle \left( {AB';MN} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {AB';MN} \right) = {60^0}\) \( \Rightarrow \angle B'NM = {60^0}\) hoặc \(\angle B'NM = {120^0}\).
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(A'C'B\) nên \(MN = \dfrac{1}{2}BC'\).
Hình chữ nhật \(BCC'B'\) và hình chữ nhật \(ABB'A'\) là hai hình chữ nhật bằng nhau nên \(BC' = AB'\) \( \Rightarrow MN = NB'\).
TH1: \(\angle B'NM = {60^0}\), khi đó \(\Delta B'MN\) đều.
Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh \(a \Rightarrow B'M = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( = B'N = MN\).
\( \Rightarrow AB' = 2B'N = a\sqrt 3 \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AA'B'\) ta có:
\(AA' = \sqrt {AB{'^2} - A'B{'^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).
TH2: \(\angle B'NM = {120^0}\).
Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh \(a \Rightarrow B'M = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(B'MN\) ta có:
\(\begin{array}{l}\cos {120^0} = \dfrac{{B'{N^2} + M{N^2} - B'{M^2}}}{{2B'N.MN}}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2M{N^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2M{N^2}}}\\ \Leftrightarrow - M{N^2} = 2M{N^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 3M{N^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow MN = \dfrac{a}{2} = B'N\end{array}\)
\( \Rightarrow AB' = 2B'N = a = AB\) (Vô lí do cạnh huyền không thể bằng cạnh góc vuông).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
