Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương khác \(1\) thỏa mãn \(\log _a^2b + \log _b^2c = {\log

Câu hỏi số 412235:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương khác \(1\) thỏa mãn \(\log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}\dfrac{c}{b} - 2{\log _b}\dfrac{c}{b} - 3.\) Gọi \(M,{\rm{ }}m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = {\log _a}b - {\log _b}c.\) Giá trị của biểu thức \(S = m - 3M\) bằng

A. \(S = - 16.\)

B. \(S = 4.\)

C. \(S = - 6.\)

D. \(S = 6.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412235

Phương pháp giải

- Biến đổi phương trình \(\log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}\dfrac{c}{b} - 2{\log _b}\dfrac{c}{b} - 3\) để trong phương trình chỉ còn \({\log _a}b\) và \({\log _b}c\).

- Đặt \({\log _a}b = x \Rightarrow {\log _b}c = P - x\).

- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(x\), tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: \(\Delta \ge 0\).

- Giải bất phương trình, từ đó suy ra \(m,\,\,M\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}\dfrac{c}{b} - 2{\log _b}\dfrac{c}{b} - 3\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}c - {\log _a}b - 2{\log _b}c - 1\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _b}c.{\log _a}b - {\log _a}b - 2{\log _b}c - 1\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \({\log _a}b = x \Rightarrow {\log _b}c = x - P\).

Phương trình (*) \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x - P} \right)^2} = \left( {x - P} \right)x - x - 2\left( {x - P} \right) - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 3x + 2P - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\Delta = {\left( {P - 3} \right)^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) = - 3{P^2} + 2P + 5\)

Phương trình (**) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le P \le \dfrac{5}{3}\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\M = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(S = m - 3M = - 1 - 3.\dfrac{5}{3} = - 6\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.