Trong không gian \(Oxyz\), hai mặt phẳng \(4x - 4y + 2z - 7 = 0\) và \(2x - 2y + z + 4 = 0\) chứa hai mặt

Câu hỏi số 413386:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), hai mặt phẳng \(4x - 4y + 2z - 7 = 0\) và \(2x - 2y + z + 4 = 0\) chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là:

A. \(V = \dfrac{{125}}{8}\)

B. \(V = \dfrac{{81\sqrt 3 }}{8}\)

C. \(V = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(V = \dfrac{{27}}{8}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413386

Phương pháp giải

Ta có thấy hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) đã cho song song với nhau.

Mà hai mặt phẳng này chứa hai mặt của hình lập phương

\( \Rightarrow \) Độ dài cạnh của hình lập phương là \(a = d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right).\)

\( \Rightarrow \) Thể tích của hình lập phương đã cho là: \(V = {a^3}.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( P \right):\,\,\,4x - 4y + 2z - 7 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4; - 4;\,\,2} \right) = 2\left( {2; - 2;\,\,1} \right)\)

\(\left( Q \right):\,\,\,2x - 2y + z + 4 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 2;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} //\overrightarrow {{n_Q}} \Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right)\)

Lấy điểm \(A\left( {0;\,\,2;\,\,0} \right) \in \left( Q \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {4.0 - 4.2 + 2.0 - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{15}}{6} = \dfrac{5}{2}\)

Mà hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\,\left( Q \right)\) chứa hai mặt của hình lập phương đã cho

\( \Rightarrow \) Độ dài cạnh của hình lập phương là \(d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{5}{2}.\)

\( \Rightarrow V = {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^3} = \dfrac{{125}}{8}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.