Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt 2 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt

Câu hỏi số 413410:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt 2 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 3\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(A\) và vuông góc với \(SC\) cắt cạnh \(SB,\,\,SC,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N,\,\,P\). Thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(CMNP\).

A. \(V = \dfrac{{32\pi }}{3}\)

B. \(V = \dfrac{{64\sqrt 2 \pi }}{3}\)

C. \(V = \dfrac{{108\pi }}{3}\)

D. \(V = \dfrac{{125\pi }}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413410

Phương pháp giải

- Chứng minh \(\angle AMC = \angle ANC = \angle APC = {90^0}\) và suy ra khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(CMNP\).

- Xác định bán kính \(R\) của khối cầu.

- Tinh thể tích khối cầu bán kính \(R\): \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\AM \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow AM \bot MC\).

\( \Rightarrow \angle AMC = {90^0}\) hay điểm \(M\) thuộc mặt cầu đường kính \(AC\).

Chứng minh tương tự ta có \(AP \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AP \bot PC \Rightarrow \angle APC = {90^0}\) hay \(P\) thuộc mặt cầu đường kính \(AC\).

Lại có \(AN \bot SC \Rightarrow \angle ANC = {90^0}\) hay \(N\) thuộc mặt cầu đường kính \(AC\).

Do đó \(CMNP\) nội tiếp khối cầu đường kính \(AC\) hay khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(CMNP\) có bán kính \(R = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2\).

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {.2^3} = \dfrac{{32\pi }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.