Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh

Câu hỏi số 418776:

Thông hiểu

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Tam giác \(BCD\) vuông.

B. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.

C. Hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là trực tâm của tam giác \(BCD\).

D. Ba mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\); \(\left( {ABD} \right)\); \(\left( {ACD} \right)\) đôi một vuông góc.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418776

Phương pháp giải

Sử dụng các định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\), \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\\forall a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot a\), \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACD} \right)\) \( \Rightarrow AB \bot CD\). CMTT ta có: \(AC \bot BD,\,\,AD \bot BC\), do đó hai cạnh đối của tứ diện vuông góc \( \Rightarrow \) Mệnh đề B đúng.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( {BCD} \right)\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AH \bot BC\\AD \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {AHD} \right) \Rightarrow BC \bot DH\).

CMTT ta có \(BH \bot CD,\,\,CH \bot BD\), do đó \(H\) là trực tâm của tam giác \(BCD\) nên mệnh đề C đúng.

Ta có: \(AB \bot \left( {ACD} \right)\,\,\left( {cmt} \right)\), mà \(AB \subset \left( {ABC} \right),\,\,AB \subset \left( {ABD} \right)\) nên \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {ACD} \right),\,\,\left( {ABD} \right) \bot \left( {ACD} \right)\).

Lại có \(AC \bot \left( {ABD} \right),\) mà \(AC \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {ABD} \right)\), do đó ba mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\); \(\left( {ABD} \right)\); \(\left( {ACD} \right)\) đôi một vuông góc nên mệnh đề D đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.